Введение I. Руководство по методологии

Анализ структурной схемы
Структурная схема состоит из элементарных звеньев.
Элементарное звено – линейная непрерывная система, имеющая своим описанием дифференциальное уравнение не выше второго порядка.
Поэтому данная система является линейной непрерывной детерминированной статической.
Вектор состояния X.
Система имеет два вектора воздействия:
U – управление;
f – возмущение.
Система является многоконтурной, так как после обрыва одной обратной связи, в ней остаются другие обратные связи.
Соединение называется соединением с обратной связью, если весь сигнал или его часть с выхода подается обратно на вход.
Обратная связь, охватывающая всю систему, называется глобальной.
Обратная связь, охватывающая часть элементов или один элемент системы, называется местной или локальной.
Так как имеется два воздействия и один выход, то передаточную функцию будем строить по управлению и по возмущению на основании принципа суперпозиции.
Принцип суперпозиции – реакция системы на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности.

Расчет передаточной функции замкнутой системы по управлению

Исходная структурная схема (f=0)

Элементарные правила преобразования структурных схем

1. Последовательное соединение звеньев – сигнал с предыдущего подается на последующий элемент.

U₁(p) = U₀(p)·W₁(p)

X(p) = U₁(p) ·W₂(p) = U₀(p) ·W₂(p)·W₁(p)

2. Параллельно – согласное соединение звеньев.

X(p) = X₁(p) +X₂(p)
X₁(p) = U(p) ·W₁(p)
X₂(p) = U(p) ·W₂(p)
X(p) = U(p) (W₁(p)+ W₂(p))

3. Параллельно – встречное соединение (соединение с обратной связью).

Последовательность элементов от входа до выхода называется прямой цепью.
Последовательность элементов от входа до обрыва обратной связи называется разомкнутой цепью.
Если в цепи обратной связи нет элементов, то ее называют единичной.
X₁(p) = U₀(p) –U₁(p)
U₁(p) = X(p) ·W₂(p)
X(p) = X₁(p) ·W₁(p)
X(p) = U₀(p) ·W₁(p) – X(p) ·W₁(p) ·W₂(p)
X(p)(1+ W₁(p) ·W₂(p)) = U₀(p) ·W₁(p)

Правила составления структурных схем САУ

Структурной схемой называется графическое изображение элемента или системы автоматического управления, отображающее систему дифференциальных уравнений, описывающих процессы управления в этих элементах или системах автоматического управления.
Правила, которые должны выполняться при составлении структурных схем:
1. Структурная схема обязательно должна иметь входные и выходные внешние связи, задаваемые на основании физической интерпретации воздействий.
2. Каждое входное воздействие, являющееся независимой функцией времени, должно поступать только на вход элемента или
структурной схемы.
3. Выходное воздействие может поступать на вход элементов
внутри структурной схемы и разветвляться на другие элементы (система, замкнутая по выходному сигналу) или не замыкаться внутри
структурной схемы (система, разомкнутая по выходному сигналу).
4. Все внутренние связи, определяемые системой уравнений,
должны передаваться от входов к выходам.
Последовательность составления структурной схемы САУ по заданной системе дифференциальных уравнений ее отдельных элементов: 1) система дифференциальных уравнений записывается в операторной форме; 2) для каждого уравнения системы выбираются входная и выходная величины; 3) каждое уравнение решается относительно выходной величины или члена, содержащего ее старшую производную; 4) строятся графические отображения каждого из дифференциальных уравнений; 5) строится общая структурная схема как совокупность графических отображений каждого дифференциального уравнения. Следует отметить, что задача построения структурных схем может решаться неоднозначно, то есть можно получить несколько вариантов графического изображения, но после соответствующих преобразований все изображения оказываются эквивалентными.

При построении структурных схем используются следующие объекты

Звено с одним входом представляет собой объект, на который поступает входное воздействие x(p), которое преобразуется в соответствии с передаточной функцией W(p), в результате чего формируется выходная величина y(p). Звено с двумя входами представляет собой объект, на который поступают два входных воздействия x1(p) и x2(p), которые преобразуются в соответствии с передаточной функцией W(p), в результате чего формируется выходная величина y(p). В общем случае выходная величина может являться суммой преобразований входных воздействий в соответствии с передаточной функцией W(p). Именно этот вариант будет рассматриваться в дальнейшем, однако сложность передаточной функции может привести к иному выражению выходного значения. Узел разветвления является объектом, который позволяет распределить один сигнал на вход нескольких объектов. Сумматор позволяет сформировать сумму входных значений в качестве выходного значения. Этот элемент обычно используется для организации положительной обратной связи в структурных схемах с обратной связью. Элемент сравнения (вычитатель) позволяет сформировать разность входных значений в качестве выходного значения. Этот эле- 25 мент используется для организации отрицательной обратной связи в структурных схемах с обратной связью. Из этих объектов создается структурная схема любой сложности. Однако существуют типовые комбинации типичных элементов, описываемые известными передаточными функциями
Простейшие сочетания динамических звеньев системы автоматического управления


В дальнейшем будет подробно рассмотрено понятие переходной характеристики. Однако заранее можно сказать, что графическое изображение реакции системы на единичное ступенчатое воздействие называется переходной характеристикой.
При практических расчетах наиболее широкое применение находит временная характеристика в виде переходной характеристики, так как ее достаточно просто получить экспериментально и, кроме того, определяемый ею переходный процесс часто возникает при включениях и ступенчатых изменениях задающего и возмущающего воздействий.
При поступлении на вход системы с передаточной функцией
W(p) величины x(t) = 1(t) на выходе можно получить переходную
характеристику y(t) = h(t).


Эквивалентные преобразования структурных схем




Критерий Гурвиса
Этот критерий был предложен немецким математиком Гурвисом в 1895 году.
Пусть характеристическое уравнение задано в следующем виде:

.

По критерию устойчивости Гурвиса главный определитель Гурвиса строится из коэффициентов характеристического уравнения. В этом случае a₀ > 0 определители следует вычислять по следующим правилам:

1. 
   коэффициенты прописаны в порядке возрастания от «а₁» до «а_n» по главной диагонали;
   
2. 
   относительно главной диагонали нисходящие индексы строк заполняются уменьшающими коэффициентами, а восходящие – возрастающими;
   
3. 
   вместо коэффициентов, индексы которых меньше нуля и больше «n», пишутся нули;
   
4. 
   высший порядок определителя Гурвиса равен уровню характеристического уравнения;
   
5. 
   Последний порядок определителя Гурвиса равно.
   

.

Определение критерия Гурвиса: Если быть, Если все определители Гурвиса больше нуля, то система устойчива., то есть когда ; ; должно быть. исходит из структуры определителя Гурвиса. Соответственно, если если есть, то система находится на пределе стагнации. Это равенство существует в двух случаях, или же bo‘lgаndа bаjаrilishi mumkin.

Если то исследуемая система находится в апериодическом пределе установившегося состояния (т. е. один корень характеристического уравнения равен нулю).
Если то исследуемая система находится на пределе колебаний установившегося состояния (т. е. характеристическое уравнение имеет пару абстрактных корней).
Теперь процедура Рассмотрим условия критерия Гурвиса для систем, представленных характеристическими уравнениями, равными.
a)
В этом ; будет состояние застоя. Итак, для устойчивости систем первого порядка достаточно, чтобы коэффициенты характеристического уравнения были положительными.