Введение в анализ

5. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ
Если функция f(x) непрерывна в каждой точке некоторого множества D, то она называется непрерывной на этом множестве. Особенно важными являются свойства функций, непрерывных на отрезке. Функция является непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна в каждой точке интервала (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.
ТЕОРЕМА Вейерштрасса.
Всякая непрерывная на отрезке [a, b] функция ограничена на нем и достигает в некоторых точках этого отрезка своего наибольшего и своего наименьшего значений.
Вместо доказательства дадим геометрическую интерпретацию теоремы.

Рис. 1 Рис. 2.

На рис. 1. функция непрерывна на [a, b], ограничена на этом отрезке числами m и M, достигает наибольшего значения M в точке x₀, наименьшего значения m в точке a.

На рис. 2. изображена функция, непрерывная на промежутке [a, b). В точке b непрерывности нет, поскольку . Функция не ограничена сверху, не имеет наибольшего значения. Как видим, условие непрерывности функции на всем отрезке, включая концы, является существенным.
ТЕОРЕМА Больцано-Коши.
Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на концах отрезка значения A и B (A  B), тогда для любого числа C, находящегося между A и B, найдется такое число c, принадлежащее интервалу (a, b), что f (c) = C.
Вместо доказательства дадим геометрическую интерпретацию теоремы.

22

Рис. 3 Рис. 4.
На рис. 3. функция непрерывна на [a, b] и принимает значение C в точке c.
На рис. 4. функция определена на отрезке [a, b] и непрерывна во всех точках этого промежутка, кроме точки x₀. Поэтому число C, находящееся между A и B, не является значением данной функции ни в одной точке интервала (a, b).

23