Введение в анализ

2. БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ
Функция f(x) называется бесконечно большой при стремлении x к a, если . Иными словами, если для любого  > 0 найдется такое  > 0, что для всех x из проколотой окрестности (a, ) справедливо неравенство | f(x) | > .
ТЕОРЕМА. О связи между бесконечно большими и бесконечно малыми.
Если (x)— бесконечно малая при стремлении x к a функция, то функция является бесконечно большой при стремлении x к a.
Если f(x)— бесконечно большая при стремлении x к a функция, то функция является бесконечно малой при стремлении x к a.

12
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть (x) — бесконечно малая при стремлении x к a функция. Покажем, что — бесконечно большая при стремлении x к a. Возьмем произвольное  > 0. Поскольку = 0, то существует проколотая окрестность (a, ) точки a, для любого x из которой справедливо неравенство | (x) | < . Тогда для любого x из этой окрестности справедливы неравенства  · | (x) | < 1, > , > . Следовательно, функция является бесконечно большой при стремлении x к a.
Пусть f(x) — бесконечно большая при стремлении x к a функция. Покажем, что — бесконечно малая при стремлении x к a. Возьмем произвольное  > 0. Поскольку = , то существует проколотая окрестность (a, ) точки a, для любого x из которой справедливо неравенство | f(x) | > . Тогда для любого x из этой окрестности справедливы неравенства  · | f(x) | > 1, < , < . Следовательно, функция является бесконечно малой при стремлении x к a. Теорема доказана.