X. K. Sarimsakova ehtimollar nazariyasi va matematik statistika
Download 48 Kb. Pdf ko'rish
|
|
A.S.RASULOV, G.M.RAIMOVA, X.K.SARIMSAKOVA EHTIMOLLAR NAZARIYASI VA MATEMATIK STATISTIKA O 'zbekiston Respublikasi Oliy va o ‘rta m axsus t a ’lim vazirligi M uvofiqlashtiruvchi Kengashi to m o n id an nashrga tavsiya etilgan 0 ‘zbekisto n faylasuflari m illiy ja m iy a ti n ash riy o ti Т а ш к е н т — 2006 Taqrizchilar: SH.Q.FARMONOV, 0 ‘zbekiston Respublikasi FA akademigi, Matematika instituti «Ehtimollar nazariyasi» bo'limi mudiri [M.MERVALIYEVJ fizika-matematika fanlari doktori, professor, Toshkent Davlat Iqtisodiyot universiteti «Ehtimollar nazariyasi» kafedrasi mudiri M.T.BAQOYEV, fizika-matematika fanlari nomzodi, Jahon Iqtisodiyoti va Di plomatiya universiteti «Matematik modellashtirish va Informatika» kafedrasi dotsenti Ushbu darslikda «Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika» fanining «tasodifiy hodisalar», «tasodifiy miqdorlar va ularning funksiyalari» va «mate matik statistika» qismlari o‘z aksini topgan. Darslikda ehtimollar nazariyasi va matematik statistika kursining amaliy mashg‘ulotlarida zamonaviy kompyu- terlardan foydalanish maqsadida EXCEL sistemasining ayrim standart funk siyalari imkoniyatlari yoritilgan. Mavzu va unga oid masalalami tanlash borasida iqtisodiyot va ijtimoiy hayotdagi masalalmi yoritishga harakat qilingan. Mazkur darslik namunaviy va o‘quv dasturlari asosida tuzilgan bo‘lib, iqtisod yo‘nalishida ta ’lim oluvchi talabalar, m agistrantlar ham da respublikamizdagi barcha iqtisodiy yo‘nalishda tahsil olayotgan talabalar uchun mo‘ljallangan. 22.171 * R 25 Rasulov A.S. va boshq. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika: Darslik./ A.S. Rasulov, G.M. Raimova, X.K. Sarimsakova. — Т.: 0 ‘zbekiston faylasuflari milliy jamiyati nashriyoti, 2006. -272 b. I. Raimova G.M. П. Sarimsakova XK. ББК22.171я7+22.172 я7 © « 0 ‘zbekiston faylasuflari milliy jamiyati nashriyoti», 2006. SO 'ZB O SH I «Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika» darsligi Jahon Iqtisodiyoti va Diplomatiyasi Universiteti 0 ‘quv Metodik Kengashida tasdiqlangan namunaviy va o ‘quv dasturlar asosida tuzilgan. Mazkur darslik iqtisod yo‘nalishida ta’lim oluvchi talabalarga «Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika» fanini o‘rganish uchun mo‘ljallangan. Ushbu darslikda mualliflar- ning oxi^gi 10 yil davomidagi dars berish jarayonida to‘plagan tajribalarining ijodiy mahsulidir. Darslikda «Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika» fanining «tasodifiy hodisalar», «tasodifiy miqdorlar va ularning funksiyalari» va «matematik statistika» qismlari o ‘z aksini topgan. Har bir mavzu uch qismdan iborat bo‘lib, awalo, qisqacha mavzuga tegishli nazariya bayon qilingan, so‘ng mavzuga tegishli nazariy va amaliy masalalami yechish jara yoni yoritilgan va nihoyat, mustaqil ishlash uchun masalalar keltirilgan. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika fani metodlari hozirda xalq xo‘jaligining barcha tarmoqlarida, jumladan iqtisodiyotda keng qo‘llanilmoqda. Oxirgi yillarda iqtisodiyot yo‘nalishi bo‘yicha olingan Nobel mukofot lari ning sovrindorlari ham ushbu fanning ayrim yo‘nalishlarini iqtisodiy jarayonlarga qo‘llab, makroiqtisodiy ko‘rsatgichlami matematik modellarini tahlil qilgandan so‘ng awaldan bashorat qilish usullarini yaratganlari uchun jahon olimlari tomonidan tan olinmoqda. Yuqorida aytilgan fikrlardan ko‘rinib turibdiki, hozirgi zamon iqtisod- chisi ushbu fan asoslarini chuqur o ‘rganib iqtisodiyotga qo‘llash usullari haqida yaxshi tasawuiga ega bo‘lsalaigina iqtisodiyotning jahon iqtisodiyoti, xalqaro savdo, moliyaviy bozorlar, sug‘urta masalalari va boshqa sohalarda tasodifiy jarayonlar va hodisalami mikro va makroiqtisodiy ko‘rsatgichlarga ta’sirini chuqur tahlil qila olishlari mumkin. Ikkinchi tarafdan esa iqtisodiy statistikani va ekonometrikaning asoslarini ehtimollar nazariyasi va matematik statistika usullari tashkil qilishini e’tiborga olsak, ushbu fanni o ‘rganish qanchalik muhimligini yanada yaqqol tasawur qilamiz. So‘ngi vaqtlarda o ‘qituvchi va talabalar o bqish va o ‘rganish jarayonida zamonaviy kompyuter dasturlaridan va turli xil maxsus statistik paketlardan keng foydalanmoqdalar. Darslikda ehtimollar nazariyasi va matematik statistika kursining amaliy mashg‘ulotlarida zamonaviy shaxsiy elektron hisoblash mashi- nalari — kompyuterlardan foydalanish maqsadida EXSEL sistemasining ayrim standart funksiyalari imkoniyatlari yoritiladf.^Matn davomida mavzu bo‘yicha kompyuter imkoniyatl^dan foydalanish haqida gap borganda maxsus belgi lar ishlatilgan. MavZii va unga oid masalalami tanlash borasida iqtisodiyot va ijtimoiy hayotdagi masalalami yoritishga harakat qilingan. Ushbu darslikda nafaqat Jahon Iqtisodiyoti va Diplomatiya universiteti talabalari, balki respublikamizdagi barcha iqtisodiy yo‘nalishda tahsil olayotgan talabalar foydalanishlari mumkin. Mualliflar o‘quvchi va mutaxasislaming ushbu qo‘llanma haqidagi tan qidiy va taqriziy fikrlarini chuqur mamnuniyat bilan qabul qiladilar hamda kelgusida e’tiboiga oladilar. 1-qism EHTIMOLLAR NAZARIYASI. TASODIFIY HODISALAR 1.1. KOMBINATORIKA ELEMENTLARI Kombinatorika (kom binatorik tahlil) — bu diskret m atem atik a- ning diskret t o ‘plam elem en tlarin i berilgan q o id alar asosida tanlash va joylashtirish bilan bog 'liq boMgan m asalalam i yechish usullarini o ‘rganuvchi b o ‘lim idir. Q an d ay d ir p red m etlard an (m asalan , harflar, sharlar, k u b ch a- lar, so n lar va b o sh qalardan ) tashkil top g an gu ru h lar birikmalar yoki kombinatsiyalar deb ataladi. A na shu birikm alarni tashkil etgan p red m etlar elementlar deyiladi. U ch xil tu rd ag i birikm alar m avjud: o ‘rin almashtirish (permu tation — перестоновки), o ‘rinlashtirish (arrangent — размещения) va mosliklar (combination — сочетания). 1 dan n gacha bo‘lgan natural sonlar ko‘paytmasi «n faktorial» deb ataladi va qisqacha n! kabi yoziladi: n ! = 1 • 2 • 3 •... • (n - I) • n . ( 0 ! = 1 ). Ba’zan n! ni hisoblashda quyidagi taqribiy Stirling formulasi q o ‘l keladi: n ! « - Й E X C E L dasturining stan d art funksiyalari [F| . M a te m atik funksiyalar. n! qiy m atin i m axsus FAKTR(SON)* nom li funksiya hisoblaydi. B u n da SON — n ning m iqdoriy qiy- m atiga teng. Shuningdek ikkilangan faktorial n! ! : n ! ! = ( 2 k + l ) ! ! = l - 3 - — (2k + l ) (n - toq) vi! ! —( 2k)! I = 2 • 4 " • - ( 2 k ) (n - juft) qiy m atin i m axsus DVFAKTR(SON) nom li funksiya hisoblaydi. E s 1 a t m a: maxsus funksiyaga m urojaat qilganda quyidagi p a r a m e tr S O N — m iq d o riy q iy m a tla r yoki u jo y la s h g a n yacheyk an ing adresi b o ‘lishi kerak. 0 ‘rin almashtirishlar n ta elementli o ‘rin almashtirishlar deb b ir-b irid an faqat ele- m e n tla rin in g tartib i bilan farq qiladigan n ta elem entli birik m alarg a * Exselning ruscha variantidan foydalanilgani uchun funksiyalarning nomlari ham shu tilda keltitrilgan. aytiladi. M asalan, uchta А, В, С elem entdan oltita o ‘rin alm ashtirish bajarish m um kin: ABC, ACB, ВАС, CBA, BCA, CAB. n ta elem entli o ‘rin alm ashtirishlar soni Pn bilan belgilanadi va quyidagi form ula bilan hisoblanadi: Pn = 1 -2 - ...(/7-l)/7 = /?! 1-m asala. 1,2,3 raqam lardan ularning har biri tarkibida faqat bir m arta uchraydigan nechta uch xonali son tuzish m um kin? Yechish: Bunday uch xonali sonlarning soni /3 = 3 /= 3 -2 -1 =6 ta. 1 Я Faktorial qiym atini hisoblaydigan maxsus funksiyaga m u ro- jaat: FAKTR(3) О 6 rinl ash t iri shl ar n ta elementdan m tadan o ‘rinlashtirishlar deb, har birida b e rilgan n ta elem entd an t tasi olingan shunday birikm alarga ayti- ladiki, ularning h a r biri hech b o ‘lm aganda bitta elem enti bilan yoki faqat ularning joylashish tartibi bilan farq qiladi. M asalan, uch elem ent А, В, С dan ikkita elem entli oltita o crinlashtirish mavjud: AB, AC, BC, BA, CA, CB. n ta elem entd an m tadan turli o fcrinlashtirishlar soni A™ bilan belgilanadi va quyidagi form ula bilan hisoblanadi: A"1 = -----—----- = n(n - 1) ( n - 2 > • (n - m + I), ( 0 < m < n ) (n - m ) ! A\ = n e a All = 1 • Ш EX C EL d asturining stand art funksiyalari f Statistik funksiyalar. 0 ‘rinlashtirishlar soni A'" ning qiym atini maxsus PER EST(SO N ;TA N LA N G A N _SO N ) nomli funksiya hisob laydi. Bunda S O N — barcha tanlash obyektlari soni (ya’ni n)\ TA N LA N G A N _SO N — tan lanay otgan obyektlar soni (y a ’ni m). E s 1 a t i n 'a : m axsus fu n k siy a g a m u ro ja a t q ilg a n d a q u y idagi p a r a m e tr la r S O N ; T A N L A N G A N _ S O N — m iq d o riy q iy m a tla r y o k i u la r jo y la s h g a n y a c h e y k a la r n in g a d r e s i b o 'lis h i k e ra k . 2-m asala. T ijorat banki boshqarm asi t u r l i lavozim larga 10 ta nom zoddan 3 tasini tan lam o q da. H ar b ir nom zod bir xil im k oni- yatga ega. 10 ta nom zoddan 3 kishidan iborat nechta guruh tuzish mumkin? Y echish: Bu m iso ld a л = 10 va m = 3. H a m m a si b o ‘lib N = = 10-9-8 = 720 ta guruh tuzish mumkin. IB 0 ‘rinlashtirishlar soni A"' ning qiym atini hisoblaydigan maxsu" P E R E S T (S O N ; TANLANGAN_SON) funksiyaga muro- jaat: P E R E S T (10; 3) n element orasidan t ta elementdan tuzilgan mosliklar deb har birida berilgan n ta elem entdan m tasi olingan shunday birikmalarga aytiladiki, ularning har biri hech b o ‘lm aganda bitta elementi bilan farq qiladi. Misol uchun, uch elem ent А, В, С dan ikkita elementli uchta moslik mavjud: AB, AC, BC. n elem ent orasidan m ta elem en td an turli m osliklar soni C 1" bilan belgilanadi va quyidagicha aniqlanadi: Xossalari: 5. C1" + C,',"+l = C,'”*1 — rekurrent formula. Bu yerda 0 < m < n - SB EXCEL dasturining standart funksiyalari [^ j. Matematik funksiyalar. Mosliklar soni ning qiymatini m ax sus CHISLKOM B(SON;TANLANGAN_SON) nomli funksiya hisobl?ydi. Bunda SON — barcha tanlash obyektlari soni (ya’ni n)\ TANLANGAN_SON — tanlanayotgan obyektlar soni (ya’ni m). E s 1 a t m a: maxsus funksiyaga m urojaat qilganda quyidagi param etrlar SON; TANLANGAN_SON — miqdoriy qiym atlar yoki ular joylashgan yacheykalaming adresi boMishi kerak. Mosliklar 4. c° +C' +...+ C" =2" n 1 ^ n ^ n 3-m asala. Tijorat banki boshqarm asi bir xil lavozim larga 10 ta n o m zo d d an 3 tasini tan lam o q d a. H ar bir n o m zo d bir xil im koni- yatga ega. 10 ta n om zo d d an 3 kishidan iborat nechta guruh tuzish m um kin? Yechish: Bu m isolda n = 10 va m= 3. Turli guruhlar tarkibi, hech boM maganda, bitta nom zodga farq qilishi kerak. D em ak, bu b irikm a lar m oslikdan iborat. H am m asi b o ‘lib N = Cj„ = = 120 7!-3! ta guruh tuzish m um kin. Iffl M osliklar soni C'f" ning qiym atini hisoblaydigan maxsus C H IS L K O M B (S O N ;T A N L A N G A N _ S O N ) funksiyaga m urojaat: C H IS L K C )M B (1 0 ;3 ) Takrorlanishli o‘rin almashtirishlar Aytaylik, n ta Ay В, С elem entlar mavjud b o ‘lib, ularning ichida A elem ent a m arta, В elem ent (3 m arta va h.k, ham da С elem ent у m arta takrorlansin va n = a + /? + • ••+ / b o £lsin. U holda, takrorlanishli o‘rin almashtirishlar quyidagi formula yordam ida topiladi: p - и/ Mkr a!/3! -y! ' M asalan, aytaylik 4 elem ent mavjud bo‘lib, ularning ikkitasi bir xil b o ‘lsin: А, А, В, C. U lardan mumkin bo'lgan barcha o ‘rin almashtirishlar quyidagicha: A A B C A B A C A C B A B A A C B C A A C A B A A A C B A B C A A C A B B A C A C B A A C A A B Formula yordamida hisoblanganda ham n! 4 1 Ptakr = = — — = 12 ■ a'.p'.y! 2! H I! 4-masala. m + n + s ta predm etni uch guruhga bittasida / ta, ikkinchisida p ta, uchinchisida esa s ta predmet bo'ladigan qilib necha usul bilan bo'lish m um kin? i= «-Л . -L, Yechish: n'.mls! (/// + n + s)! Javob: N = — — n ta elementdan m tadan takrorlanishli o ‘rinlashtirishlarda (/;/ixtiyoriy elem ent 1 dan m m artagacha uchrashi yoki um um an u chra- masligi m u m k in , ya’ni h a r bir n ta elem en td an m tadan ta k ro rla n ishli o ‘rinlashtirish nafaqat turli e lem en tlard an , balki t ta ixtiyoriy rav ish d a ta k r o r la n u v c h i ix tiy o riy e le m e n tla r d a n ta s h k il h e c h b o ‘lm aganda elem en tlarin in g joylashish tartibi bilan farq qiluvchi gu ru h lar har xil guruh hisoblanadi. M asalan. uch /1, В, С e le m e n td a n ik k itad an ta k ro rla n ish li o ‘rinlashtirishlar quyidagicha: AA, BB, С С, AC, ВС, С А, СВ, BA, AB. n ta elem en td an m tad an takrorlanishli o ‘rinlashtirishlar soni тикр bilan belgilanadi va quyidagi form ula bilan hisoblanadi: A m - n 111 n takr — • 5-m asala. Seyfning shifrli kodi olti xonali sondan iborat. K od - lashtirganda n ech ta turli kom binatsiya tuzish m um kin? Yechish: Bu m isolda nqlO , ch u n k i k o d lashtirishda 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 raqam larning h am m asid an foydalanish m um kin va kod olti xonali son b o clgani uch un /77=6. D em ak, seyfni А'"шкг = n" = 106 -1000000 usul bilan kodlashtirish m um kin. Javob: 100000 TAKRORLANISHLI MOSLIKLAR p ta elementdan t tadan element bo'lgan takrorlanishli moslik- larda ixtiyoriy elem ent 1 dan m m artagacha uchrashi yoki u m u m a n uchram asligi m um kin, ya’ni h ar b ir n ta elem entdan m tad an ta k ro r lanishli 0 ‘rinlashtirish nafaqat turli elem en tlard an , balki t ta ixtiy oriy ravishda tak ro rlan u vchi ixtiyoriy elem en tlard an tashkil to pish i m um kin. TarKibi bir xil b o clib, faqat elem en d arin in g tartibi bilan farq qiluvchi g u ru h lar farq qilinm aydi, y a’ni faqat e le m en tlarin in g joylashish tartib i bilangina farq qiluvchi g u ru h lar bir xil gu ru h hisoblanadi. Masalan. uch А, В, С elementdan ikkitadan takrorlanishli m o s liklar quyidagicha: AA, BB, CC, AC, ВС, AB. n ta elem entdan m tadan takrorlanishli mosliklar soni C ”' . a lakr. bilan belgilanadi va quyidagi formula bilan hisoblanadi: (n + m - 1 )! ('•’Ill _ s ill! n mkr ~ n+in-j m!( n - 1 )! T a ’kidlash joizki, t p dan katta ham boMishi m umkin. 6-masala. Qandolat d o ‘konidagi 4 xil shirinlikdan 6 donasini necha xil usul bilan tanlash mumkin? Yechish: Bu misolda n = 4 va m = 6. Dem ak, 4 turdagi shirinlik- lardan 6 donasini c : u,kr usul bilan tanlash m umkin. Ш Mosliklar soni c „ ning qiymatini hisoblaydigan maxsus CHISLKOMB(SON;TANLANGAN_SON) funksiyaga murojaat: C H ISLK O M B(6+4—1;6) Kombinatorikaning asosiy qoidalari K om binatorikaning asosiy qoidalarini keltiramiz. • Qo‘shish qoidasi (mantiqiy qo‘shish tamoyili) Agar a ele m en tn i m ta usul bilan, b elem entni esa boshqa n ta usul bilan tanlash m um kin b o l s a , u holda ularning birlashm asi- dan a yoki b ni m +/i usul bilan tanlash m um kin. • Ko‘paytirish qoidasi (mantiqiy ko'paytirish tamoyili). Agar a elem entni m ta usul bilan tanlash m um kin boMib, h a r bir ana shunday tan la sh d an s o cng b elem entni p ta usul bilan tanlash m umkin boMsa, u holda ( a , b) juftlikni k o ‘rsatilgan tartibda / 77-/7 usul bilan tanlash m umkin. Bu qoidalar ixtiyoriy sondagi e lem en tlar u c h u n ham o ‘rinli. 7-masala. Elektr mollari d o ‘konida sotuvga uch xil televizor va ikki xil videomagnitofon chiqarilgan. X aridor televizor yoki vide- omagnitofon sotib olish imkoniyatiga ega. a) u bitta xaridni necha usui bilan amalga oshirishi m um kin? b) agar xaridor televizor va video m agn itofon sotib olm oqchi bo4sa, u ho lda nechta turli juftliklar b o ‘lishi m u m k in? Yechish: a) Bitta televizorni uchta usul bilan, videom agnitofonni esa ikki usul bilan sotib olish m um kin. U holda televizor yoki v ideom agnitofonni besh usul bilan sotib olish m u m kin, y a ’ni ДJ - n + m = 3 + 2 = 5 • b) a, b, с — televizorlar markasi; x, u — v id eo m a g n ito fo n la r markasi b o ‘lsin. Agar a m arkadagi televizor ta n la n g a n b o ‘lsa, u holda ax va au kom plektlari b o ‘lishi m u m k in . Agar b m arkadagi televizor ta n la n g a n b o ‘lsa, bx va bu k o m p le k tla rn i hosil qilish m um kin. Va nihoyat, s m arkadagi televizor ta n la n g a n b o clsa, sx va su k o m p lek tlarn i hosil qilish m u m k in . S h u n d a y qilib, televizor ta n la n g a n id a n s o ‘ng ikki usul bilan v id eo m a g n ito fo n tanlanishi mumkin. D e m ak , hamm asi b o ‘lib 6 ta turli juftliklar tanlash m um kin ekan: yV = ii + /;/ = 3 + 2 = 5 8-m asala. Faraz qilaylik bankning ikkita filiali mavjud. H ar bir filialning ikkitadan b o ‘limi b or va ularning h a r birida uc h ta d a n xodim ishlaydi. M alaka oshirish kursida o cqitish u c h u n xodim lardan birini tasodifiy ravishda necha usul bilan tanlash m u m kin ? Yechish: T a n lo v quyidagi ta r tib d a am alga oshiriladi (d ia g r a m - maga qarane): tasodifiy ravishda filial tanlanadi; so ‘ngra filial ichidan b o ‘lim ta n la b o lin a d i va, n ih o y at, b o ‘lim d an taso difiy ravishda bitta x o d im ta n la n a d i. D i a g r a m m a d a n k o ‘rinib tu rib d ik i, b u n d a y ta n lo v la r soni Ar = /7/7? = 3-2 = 6 ta. Tanlov usullari sonini hisoblash uchun diagramma Download 48 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|