X. K. Sarimsakova ehtimollar nazariyasi va matematik statistika
Mustahkanilash uchun masalalar
Download 48 Kb. Pdf ko'rish
|
|
Mustahkanilash uchun masalalar 1. Ertalabki pochta bilan maxsus agentlikka neft quvurlarini kov- lash uch u n yer uchastkalarining ijara narxi t o ‘g ‘risidagi takliflar bilan 9 ta yopiq konvert keldi. Konvertlarni ochish tartibining necha usuli mavjud? Javob: 362880. 2. G eologorazvedkaning xabar berishicha 15 ta yer uchastkasi- ning birida neft b o ‘lish ehtimoli bor. Biroq kom paniyaning m ab lag ‘i faqat 8 ta quvur qazishga yetadi. Kompaniya ana shu 8 ta turli quvurni n echa usul bilan tanlab olishi m um kin ? Javob: 6435. 3. Kengash ishga qabul qilish t o ‘g ‘risida ariza bergan 6 ta n o m - zodni k o ‘rib chiqm oqda. Ular h a m m a sin in g kasbiy malakasi bir xil. Suhbatga esa oltitadan faqat uchtasi taklif qilinadi. Suhbatga kirish tartibi h a m ahamiyatga ega, chunki birinchi b o ‘lib kirganning ishga taklif qilinish ehtimoli eng katta. Ikkinchisi faqat birinchisi rad javobi olgan taqdirdagina taklif qilinadi. U chinchisi suhbatga kirishi uchu n aw algi ikkitasi rad javobi olgan boMishi kerak. Bunday sha- roitda oltitadan uch nom zodni tanlash n in g nechta usuli mavjud? Javob: 120. 4. A v ia k o m p a n iy a S a m a r q a n d —T o s h k e n t y o ‘n a lish id a oltita, T o sh k e n t—Anqara yo‘nalishida esa ikkita reysga ega. Agar reyslar har xil kunlarda bajarilsa, S a m arqan d dan A nqaragacha nechta usul bilan chi pta buyurish m um kin? Javob: 12. 5. K om paniyaning t o ‘rt b o ‘limi bor: m ahsulot ishlab chiqarish b o £limi; xomashyo yetkazib berish bilan shug‘ullanuvchi t a ’m inot b o climi; m enedjm ent va marketing b o ‘limlari. U larning h a r biridagi xodim lar soni mos ravishda 55, 30, 21 va 13 ga teng. K o m p a n iy a direktori bilan har yili b o ‘ladigan uchrashuvga har bir b o 'lim o ‘zining bitta vakilini j o ‘natm oqchi. K o m paniya ishchilaridan ana shu u c h ra shuvga ham m asi boMib nechta guruh tuzish m um kin? Javob: 450450. 6. 20 ta o d am qatnashayotgan majlis ikkita konferentsiyaga ikki vakilni saylamoqda. Buni n echa usul bilan bajarish m u m k in ? Bitta konferentsiyaga ikki vakilni n ech ta usul bilan tanlash m um kin ? 7. K om pyu ter tarm og'iga kirish u ch u n o p e ra to r to 'rtta raq am - dan iborat kodni terishi kerak. O pe ra tor kerakli kodni unutib qo'ydi yoki bilmaydi deylik. Agar koddagi raqam lar a) tak ro rlanm asa; b) takrorlansa, u kodni terish uchu n ham m asi bo4ib n echta kombinatsiya tuzishi mumkin? 8 . K o 'p m am lakatlarda haydovchilik g uvohnom asi uchta h a rf va uchta raqam dan iborat tartib raqamiga ega. Agar lotin alifbosida 26 ta h arf bo'lsa, haydovchilik guvohnom asi ha m m a si bo'lib nechta tartib raqamiga ega bo'lishi m um kin? Bunda ikki hoi bo'lishi m u m kin: a) raq am lar takrorlanadi; b) takrorlanm aydi. 9. Awalgi masala shartida agar tartib raqam i faqat olti raq a m d a n iborat bo'lsa, haydovchilik guvohnomasi ham m asi bo'lib nechta tartib raqamiga ega bo'lishi m um kin? Bunda ikki hoi bo'lishi mumkin: a) raq am lar takrorlanadi; b) takrorlanm aydi. 10. Korporatsiya direktori 10 ta universitet bitiruvchisini ishga qabul qilish masalasini ko'rib chiqmoqda. Korxonalarning birida uchta turli bo'sh o'rin bor. Direktor bu o'rinlarni nechta usul bilan to'ldirishi mum kin? Javob: 720. 11. Beshta t l , t 2 , t'3, t4 , / о lirma u c h ta turli C l, C2, C3 shartnom alarni bajarish bo'yicha o 'z xizmatlarini taklif etadi. H a r bir firma faqat bitta shartn o m ani olishi m u m k in . S h a rtn o m a la r h a r xil, y a ’ni FI firma C l shartn o m an i olgani shu firma C2 ni olganiga teng kuchli emas. F irm alar sh artn o m a olishning nechta usuliga ega? Javob: 60. 1.2. ELEMENTAR HODISALAR FAZOSI. TASODIFIY HODISALAR USTIDA AMALLAR Tajribaning har bir yaxlit natijasi ( y a ’ni boshqa h o d isa la r ko'rinishida ifodalanm aydigan hodisa) elem entar hodisa deb ataladi. Barcha ele m en ta r hodisalar to 'p la m in i a = {<; } orqali belgilaymiz. o = { oj ] elementar hodisalar fazosi deb ataladi. D fazosi tajribaning m um k in bo'lgan barcha natijalarini o 'z ichiga oladi. Q ning ixtiyoriy A qism to 'p la m i hodisa deb a ta ladi. Tajriba natijasi A ga kirgan biror elem entar hod- isadan iborat bo'lsa, u holda A hodisa ro'y beradi. A va В hodisaning yig'indisi A kj В deb yoki A hodisaga, yoki В hodisaga, yoki ularning ikkalasiga h a m tegishli bo'lg an ele m en ta r hodisalardan iborat b o'lgan hodisaga aytiladi A va В hodisalarning ko'paytmasi Аг лВ deb A va В larning har ikkalasiga tegishli bo'lgan e le m en ta r hodisalardan iborat bo'lgan hodisaga aytiladi. A va В hodisalarning ayirmasi A I В deb A ga tegishli va В ga tegishli b o 'lm a g a n elem entar h od is alardan iborat bo 'lg an hodisaga aytiladi. q to'p lam muqarrar hodisa deb ataladi. Bo'sh mumkin bo'lmagan hodisa deyiladi. Agar A V = 0 b o'lsa, u holda A va В hodisalar birgalikda bo'lmagan hodisalar deyiladi ham d a bu holda А и В ning o 'rniga A + V yoziladi. Agar A A = 0 va А л - А - Q bo'lsa, u holda A hodisa A hodisaga qarama-qarshi hodisa deyiladi. Agar A,At = 0 ( / * j ) va At + A2 +...+ Л„= Q b o l s a , u holda A\ 4 A?...... A„ ho disalar to'la guruhni tashkil etadi deyiladi. Agar A h o disan ing har bir ro'y berishi natijasida В hodisa ham ro 'y bersa, u holda A a В deb y o ziladi va «А hodisa В hodisani ergashtiradi» deb aytiladi. Agar A hodisa В hodisani ergashtirsa, u holda A ga kirgan h a r bir elem en tar hodisa В ga ham tegishli bo'ladi. ( A j) Q Agar A — V b o ‘lsa, u holda A va В hodisalar teng kuchli ho disalar deyiladi. Mustahkamlash uchun masalalar 1. Tanga k e tm a -k e t uch m arta tash lanm oq da. Tajriba natijasi (Xj . X j . X j J ketm a-k etlikd an iborat b o clib, har bir Л/ «С» — gerb yoki «/?» — raq am tushishini bildiradi. a) W elem en tar hodisalar fazosini quring. b) Kam ida ikki m arta tanga «gerb» to m o n i bilan tushishidan iborat boMgan A hodisani ifodalang. a) A u A va A-A hodisalarni t a ’riflang; b) Q a c h o n AB va A hodisalar ten g kuchli? d) A va A 'u B hodisalar birgalikdami? 2. Tekislikka tasodifiy ravishda n u q ta tashlanm oq da. / 4 -«nuqta A doiraga tushishi» va B- «nuqta В doiraga tushishi» dan iborat h o d i salar b o ‘lsin. А, В, А и В, A u В, AB, AB hodisalarni izohlab bering. 3. Brokerlik flrmasi aktsiya va obligatsiyalar bilan ish k o ‘radi. O cz faoliyatini tahlil qilish uchun firma uni qiziqtirgan shaxs aktsiya egasi (A hodisa) yoki obligatsiya egasi (B hodisa) bo'lishi ehtimolligini b a h o l a b t u r i s h i f o y d a d a n h o li e m a s . S h u n u q t a i n a z a r d a n A B ,A B ,A ^ B , A'uB, A vj B, AB% AB hodisalarni izohlab bering. 4. Avtom obillar sotish bilan shug‘ullanuvchi firma radio va tele- videnie orqali m ashinalarning ikki yangi m odelini reklama qilmoqda. A — tasodifan tanla n gan o d am yangi m od ellar haqidagi reklam ani radio orqali eshitgani, В — tasodifan tan la n g an o d a m yangi m o dellar haqidagi reklamani televidenie orqali k o crgani hodisasi b o ‘lsa, A B , A B , A k j B, A\ j В , A k j B, AB, A B hodisalarni izohlab bering. 5. A, B y V— t a s o d i f i y h o d i s a l a r b o M s in . a ) ABC = A ; b ) A u B u C = A hodisalarni izohlab bering. 6 . N i s h o n r, < r 2 < . < r U) b o clg a n /7 (i = I, 2..... 10; r a d i u s l i kontsentrik ay lan alar bilan chegaralangan 10 ta d oira da n iborat. Agar Aj ={ rj radiusli doiraga tekkazish} hodisasi b o clsa, u holda 6 10 — B = Z A r С = Y\ A,, D - A] • A? hodisalarni izohlab bering. /=1 1 /=5 7. А у В, С — uchta ixtiyoriy hodisa bo'lsin. Quyidagi hodisalarni ifodalab bering: a) faqat A hodisa ro'y berdi; b)/l va Й hodisalar ro'y berdi, lekin С hodisa ro'y berm adi; d )u ch a la hodisa ham ro'y berdi; e) ushbu hodisalarning hech b o 'lm a g a n d a bittasi ro'y berdi; 0 ushbu hodisalarning faqat bittasi ro'y berdi; g) ushbu hodisalarning hech b o i m a g a n d a ikkitasi ro'y berdi; h) faqat ikkita hodisa ro'y berdi; i) bu hodisalarning birortasi h a m ro'y bermadi; j) ikkitadan ziyod hodisa ro 'y bermadi. 1. A, AB, А и В hodisalar to 'la guruh tashkil etishini isbot- lang. 9. Tasodifiy sonlar jadvalidan tasodifiy ravishda bir son olingan. A hodisa — «tanlangan son 5 ga bo'linadi»; В hodisa — «bu sonning oxirgi raqami nol» ekanini bildirsa, A \ B va AB hodisalar nim ani bildiradi? 1.3. EHTIMOLLIKNING KLASSIK VA STATISTIK TA’RIFI Hodisaning ehtimoli bu hodisaning ro'y berishi im konining m iq doriy ko'rsatgichidir. Agar W — n ta o'zaro teng kuchli, y a ’ni ro'y berish yoki bermasligining ehtimoli bir xil b o 'lg an hodisalardan tashkil topgan bo'lsa, u holda A hodisaning P(A) ehtim oli A hodisa ro 'y berishiga qulaylik tug'diradigan elem en tar hodisalar soni m ning barcha ele m en ta r hodisalar soni n ga nisbatiga teng: P ( A ) = - . n A hodisa ro'y berishiga qulaylik tu g'diradigan e le m en ta r h o d isa lar «moyil hodisalar» deyiladi. B archa elem entar hodisalar teng imkoniyatli bo'lg an hoi «klassik» hoi deb ataladi. Shuning u chun m P( A ) - — ehtimollikni k o 'p in c h a «klassik» ehtim ollik deb ataladi. n т т / / л m Quyidagi nisbat v V ( A ) - — ga A hodisaning nisbiy chastotasi deb ataladi. Nisbiy chastota tajribalardan so'ng hisoblanadi. Bunda m — A hodisa ro'y bergan tajribalar soni;. n — tajribalarning u m um iy soni. Statistik t a ’rifda hodisaning ehtimolligi sifatida u n in g ’ nisbiy chastotasi olinadi. Namunaviy masalalar yechish 1-masala. Shoshqol toshi ( o ‘yin kubigi) bir marta tashlangan bo'lsa, juft o c h k o tushish ehtim olini toping. Yechish: В — juft ochko tushish hodisasi b o ‘lsin. E le m e n ta r hodisalar fazosi oltita teng imkoniyatli ho d isa d a n iborat, y a ’ni Q = {A{, A2, A., A4, A} , Ab} . Bu yerda A,• — {/ raqam i tushish h o disasi}. U ho ld a В ga moyil e le m en ta r hodisalar u c h 1 a — A2 . A4.AQ. in 3 Ehtim ollikning klassik t a ’rifiga asosan P ( В ) = — = — = 0,э. n 6 Javob: P(B) = 0.5. 2-masala. Yuk mashinasiga ortish vaqtida 10000 tarvuzdan 26 tasi yorilgan. Yorilgan tarvuzlarning nisbiy chastotasini toping. Yechish: M asalaning shartiga asosan h am m asi b o ‘lib /1 = 10000 tarvuz bor, ulardan m = 26 tasi yorilgan. Dem ak, yorilgan tarvuzlarning nisbiy chastotasi W( A ) = — = = 0,0026 . n 10000 Javob: W( A) = 0,0026. Mustahkamlash uchun masalalar 1. Yirik savdo kom paniyasi uy-joy qurilishi va ularni t a ’mirlash u chu n qurilish materiallari sotish bilan shug'ullanadi. K o m p a n iy a d a uchta regiondagi xaridorlarning ro'yxati bor. K om paniya ularga tovar- lar katalogini p o c h ta orqali yuboradi. K o m p a n iy a m enedjeri yubo- rilgan takliflarga birorta ham regiondan javob kelmaslik ehtim oli 0,25 ga teng deb hisoblaydi. U holda h ech b o 'lm a g a n d a bitta regiond an javob kelish ehtim olini toping. Javob: 0,75. 2. Qutida 10 ta shar bor: 7 ta qora va 3 ta oq. Yashikdan tasodifiy ravishda bir s h a r olindi. Bu shar: a) oq; b) qora bo 'lish in in g e h ti molini toping. Javob: a) 3/10; b) 7/10. 3. «D A FTA R » so'zid an tasodifiy ravishda bitta h a r f tan la n d i. Bu «U» harfi b o 'lish ehtimoli nimaga teng? Bu unli h a rf b o 'lis h e h ti- m oli-chi? Javob: 0; 1/3. 4. U c h ta tanga tashlandi. 2 tanga «gerb» tom on i bilan tushish ehtimoli nechaga teng? Javob: 3/8. 5. Shoshqol toshi bir marta tashlanganda, 4 raqami tushish ehtimoli nechaga teng? 4 dan katta raqam tushish ehtimoli nechaga teng? Javob: 1/6; 1/3. 6 . Nishonga otishda tekkazishlar nisbiy chastotasi 0,6 b o ‘lgan. Agar mergan 12 m arta nishonga tekkiza olm agan b o ‘lsa, jam i b o clib necha marta o ‘q otilgan? Javob: 30. 7. Ikkita shoshqol toshi tashlanganda tushgan raq am lar yig‘indisi kam ida 9 ga teng bo'lish ehtimoli nechaga teng? 1 tushish ehtimoli nechaga teng? Javob: 5 /1 8 ; 11/36. 8 . 64 ta katakdan iborat shaxmat taxtasiga 2 ta shaxm at donasi — oq va qora rangli fil q o lyildi. Ularning bir-birini «urish» ehtimoli nechaga teng? Javob: 1-14/63 = 7/9. 9. А, В, E, T, SH harflari yozilgan 5 ta bir xil qog‘ozchalardan ketma-ket uchtasi tanlab olindi va olinish tartibida bir qatorga joylash- tirildi. Natijada «BESH» so‘zi hosil boMish ehtimoli nechaga teng? Javob: 1/60. 10. Qutida 7 ta qora va 3 ta oq shar bor. Tasodifiy ravishda olingan ikkita sham ing qora boMish ehtimoli nechaga teng? Javob: 7/15. 11. 1, 2, 3,..., n sonlar ketm a-ketligidan tasodifiy ravishda ikkita son tanlab olindi. Agar 1 < к < n b o ‘lsa, ulardan biri к d a n kichik, ikkinchisi esa к dan katta b o ‘lish ehtim oli nechaga teng? 2( k - 1 ) ( n - k ) Javob: ; r~ . n ( n - l ) 12. Yosh bola A, A, D, D harflari yozilgan 4 ta bir xil kartonchalarni o 'y n a b o ‘tiribdi. U harflarni bir qatorga tasodifiy ravishda terganida «DADA» s o ‘zi hosil b o ‘lish ehtim olini toping. Javob: 1/6. 13. Telefon raqamlarini terayotgan kishi oxirgi ikki raqamni unutib q o cydi va ularning turlicha va toq ekanligini eslab qolgan holda, tasodifiy ravishda ikki raqamni terdi. Terilgan telefon raqamlari t o £g ‘ri boMish ehtimolini toping. 14. Navbatda A, В ham da yana sakkiz kishi turibdi. A va В larning orasida uch kishi b o ‘lish ehtimoli nechaga teng? Javob: ( 1 2 - 8 ! ) / 10!. 15. n talo te re y a c h ip ta la rin in g m tasi yutuqli.Siz к ta c h i p ta s o ti b oldingiz deylik. H ech b o ‘lm aganda bitta chi pta yutuqli bo'lish e h ti molini toping. Javob: l- C * ! C k ■ I) — hi и 16. 25 ta imtihon biletidan 5 tasi «oson». Ikkita talaba navbat bilan bittadan bilet oldilar. Quyidagi hodisalar ehtim olini toping: A = {birinchi talaba «oson» bilet oldi}; В = {ikkinchi talaba «oson» bilet oldi}; С = {ikkala talaba h a m «oson» bilet oldi}; Javob: P( A) = (5 • 2 4 ) / =1/5: P ( B ) = (24• 5 ) / A ;5 = 1 / 5 ; P( C) = A; / A;5 = 1 / 3 0 ; 17. 50 ta m ahsulotning 5 tasi sifatsiz. Tasodifiy ravishda 6 ta mahsulot tanlab olindi. Tanlab olingan mahsulotlarning orasida 2 tasi sifatsiz boMish ehtim olini toping. Javob: * 0,0938. 18. Tasodifiy tanlangan 12 ta o d a m n in g tu gcilgan kuni yilning turli oylariga t o ‘g ‘ri kelish ehtim olini toping. 12 ! Javob: 19. Yetti qavatli uyning liftiga birinchi qavatda 3 kishi kirdi. U l a r ning h a r biri, ikkinchi qavatdan boshlab, istalgan qavatida liftdan chiqishi m u m k in . Quyidagi hodisalarning ehtim olini toping: A = {hamm a yo ‘lovchilar 4 -qavatda tushadilar}; В = {ham m a y o ‘lovchilar bitta qavatda tushadilar}; С = {ham m a yo‘lovchilar turli qavatlarda tushadilar}. Javob: P(A)= 1/216; P (B )= 1/36; P(C)= 5/54. 20. J av o nda 10 juft turli oyoq kiyimlar bor. Tasodifiy ravishda ulardan 4 donasi tanlab olindi. Olingan oyoq kiyimlar ichida o ‘z jufti bilan olingani y o ‘q ekanligini ehtim olini toping. Javob: 2 4 C,40 / C 240 ■ 21. Tasodifiy ravishda tanlab olingan d o m in o toshi “d u b l” (y a ’ni ikki ta bir xil ochkoli) em as ekan. Ikkinchi tasodifiy tanlab olingan d o m in o toshini birinchisining yoniga q o ‘yish m um kinligining e h ti molini toping. Javob:\2/212. 22. O'yin dastasi 36 kart a dan iborat. D astadan bitta karta tanlab olindi va qaytarib q o ‘yildi. So‘ngra kartalar aralashtirildi va yana bitta karta tanlab olindi. Tanlab olingan ikkala karta bir turli b o ‘lish e h ti molini toping. Eslatma: turlar 4 xil b o ‘ladi ( ♦ v л * ). Javob: 0,25. 23. Kitob javonining bir boMimiga 10 ta kitob tasodifiy ravishda taxlandi. Uchta m a ’lum bir kitoblar y o n m a-y on q o ‘yilishi ehtimolini toping. Javob: 1/15. 23. 0 ‘yinlarning um um iy sonini kamaytirish m aqsadida 2n ta sport jamoasi qur’a tortish asosida ikkita guruhga ajratildi. Ikkita kuchli jamoa: a) turli guruhga tushishi; b) bir guruhga tushishi ehtim olini toping. Javob: a) n / (2n- \ ) ; b) ( n- \ ) / ( 2n- \ ) . 25. Sifatli m ahsulotlarning nisbiy chastotasi 0,9 ga teng b o ‘lib chiqdi. Agar tekshirilgan m ahsulotlarning u m u m iy soni 200 taga teng b o ‘lsa, ularning orasida sifatlilarining soni nechta? Javob: 180 mahsulot. 26. Sexda 6 erkak va 4 ayol ishlaydi. Tabeldagi tartib raqam i b o ‘yicha tasodifiy ravishda 7 kishi tanlab olindi. Tanlab olinganlar orasida 3 ayol b o ‘lish ehtimolini toping. Javob: 0,5. 1.4. GEOMETRIK EHTIMOLLIK Geometrik extimollik tajriba uchun elem entar hodisalar soni ch e k siz (sanoqli yoki sanoqsiz) ko ‘p b o ‘lgan hollarda ishlatiladi. G e o metrik ehtimollikning m a ’nosini quyidagi misolda tushuntiram iz. Aytaylik, biror G sohaga tasodifiy ravishda nuqta tashlanm oqda, ya’ni nuqta G sohaning ixtyoriy joyiga teng imkoniyatli ravishda tushishi mumkin. G so haning ichida joylashgan ixtiyoriy g sohaga tushish ehtimoli ana shu g soha o'lchovi (uzunligi, yuzasi, hajmi va h.k.) ga proporsional b o ‘lib, uning qayerda joylashgani va shakliga bogMiq emas. Shunday qilib, nuqtaning g sohaga tushish ehtimolligi: , g soha о ‘ Ichovi G soha о ‘ Ichovi |
