X ususiy xosilаli differentsiаl tenglаmаlаrni tаkribiy yechISh umumiy tushunchаlаr

4 - t a ʼ r i f . Аgar ixtiyoriy sillik, i,/, h —> 0 da Щ k) -> 0 bo’lsa, u holda (2.8), (2.9) chegaraviy masalani (2.10), (2.11) to’r ustidagi masala approksimatsiya qiladi deyiladi.
Аgar (2.10) tenglamaning o’ng tomonini
L|(,.*) = / (*!/ *2*)
deb olsak, u holda W{h) ning taʼrifiga kirgan ||//, miqdor nolga teng bo’ladi. Аmmo ayrim hollarda aniqlikni oshirish
uchun (2.8) tenglamaning o’ng tomoni (/, k) nuqtada _Dxi, x2k + 0,5h2)
deb olinadi.
5 -t a ʼ r i f . To’r ustidagi (2.10), (2.11) masala turg’un (korrekt)
deyiladi, agar /? < /g0uchun h ga bog’lik, bo’lmagan M0 va M o’zgarmaslar topilib, ular uchun ushbu tengsizlik bajarilsa:
Bu taʼrifdan kuramizki, chizik^li masala uchun turgunlik^ va

Bu taʼrifning maʼnosini tushuntirishga harakat qilamiz.
Chiziqli masala uchun (2.10), (2.11) ayirmali sxema chiziqli algebraik tenglamalar sistemasidan iborat. Shuning uchun xam (2.13)
tengsizlikdan /„ = 0, q>Jh = 0 bo’lganda (2 .10) - (2 .11) tenglamalar sistemasi faqat trivial yechimga ega. Bundan esa KronekerKapelli teoremasiga kura (2.10), (2.11) masala o’ng tomonidagi ixtiyoriy f h, cpjh uchun yagona yechimga ega. Demak, chiziqli masalada
turg’unlik shartidan ayirmali tenglamalar sistemasining o’ng tomoni ixtiyoriy funktsiyalar bo’lganda ham yagona yechimga egaligi kelib chiqadi.
Аgar u'h, ii funktsiyalar kuyidagi
Lhuh = f l > Rjhul = = /D RjMul =
ayirmali masalalarning yechimi bo’lsa, u xolda Lh va /?Аoperatorlar
chiziqli bo’lganda (2.13) tengsizlikka ko’ra quyidagiga ega bo’lamiz:
1K -i*I
t
< M0 jLhulh - Lhu2u I +'YJ Mj IRjhu\ - Rjhu\|| =
" j-\
(2-14)
= щ (/; - f h2 + j r Mj I
jh |f .
j =i J"
Shunday qilib, agar tenglama va chegaraviy shartlarning o’ng
tomoni bir-biridan kam farq, qilsa, u xolda turg’unlik sharti
bajarilganda to’rdagi masalaning yechimi bir-biridan kam farq qiladi.
Yuqorida keltirilgan yaqinlashish, approksimatsiya va turg’unlikning taʼrifidagi Uh,Fh, Fjh fazolarda aniqlangan normalar muhum ahamiyatga ega. Shunday xollar bo’lishi mumkinki, (2.13) tengsizlik ayrim normalar uchun bajarilib, boshqalari uchun bajarilmaydi. Har gal (2.13) tengsizlik nima sababdan bajarilmasligini
tekshirish kerak.
Аgar normalar noqulay olinganligi sababli (2.13) tengsizlik bajarilmagan bo’lsa, u holda Uh, Fh,ham bajarilmasa, u holda bu ayirmali sxemaning noto’g’riligini bildiradi.
Biz yuqorida to’rdagi normalar moslangan bo’lishi kerak degan
edik. Masalani tekshirishda ko’pincha \\\\Uh va larning moslangan
normalari sifatida quyidagilar olinadi:
N L = SUP h 0 O |m| = sup \i(x,u)\
aO < u(2.15)
yeki
iLiI =„sup J /)S I m™I OO< u< T V O
i\\ = sup dx,
(2.16)
Bu normalarda h - ( b — a )/M (M — butun son), N = [ T/h2\.
Faraz qilaylik, i e ( J bo’lsin. gА° = Lh [u]h - f h miqdor masalaning yechimidagi tenglama approksimatsiyasining xatoligi deyiladi,
r£ = Rjh [u\h - (pjh ( j = 1, 2,... t) miqdorlar esa masalaning yechimidagi chegaraviy shartlar approksimatsiyasining xatoligi deyiladi. Ushbu
Ro (L) = \\U M * - h\ Fh , Pj i h) = I d [«]* -
belgilashlarni kiritamiz.
Аgar i funktsiya (2.8), (2.9) masalaning yechimi bulsa, u holda
r ( /g) = £ r ; ( /g)
;=o
miqdor (2.8), (2.9) differentsial masalani (2.10), (2.11) ayirmali sxema bilan approksimatsiyalashda yechimdagi xatoning o’lchovi deyiladi. Аgar А —> 0 da r(А) —> 0 munosabat o’rinli va i funktsiya
(2.8), (2.9) masalaning yechimi bo’lsa, u holda (2.10), (2.11) ayirmali sxema (2.8), (2.9) masalani yechimida approksimatsiya qiladi deyiladi;
А —> 0 da r(А) ning tartibi yechimdagi approksimatsiyaning tartibi deyiladi.