X ususiy xosilаli differentsiаl tenglаmаlаrni tаkribiy yechISh umumiy tushunchаlаr

X
USUSIY XOSILАLI DIFFERENTSIАL
TENGLАMАLАRNI TАKRIBIY YEChISh
1.UMUMIY TUShUNChАLАR
Xususiy osilali differentsial tenglamalar fan va texnikaning turli soHalarida uchraydi, ammo ularning yechimini oshkor ko’rinishda chekli formula shaklida topish kamdan-kam hollarda mumkin bo’ladi. Shu munosabat bilan matematik fizika masalalari deb ataluvchilar xil xususiy hosilali differentsial tenglamalarni, xususiy hosilali differentsial tenglamalar sistemasi va integral tenglamalarni takribiy yechish metodlari muhim ahamiyatga egadir. Bu va keyingi boblarda biz matematik fizika masalalarini takribiy yechishning ayrim keng tarqalgan metodlarini ko’rib chiqamiz. Matematik fizika kurslarida o’zgaruvchilarning soni va hosilalarning tartibi bulgan tenglamalar qaraladi. Biz asosiy diqqatni ikki erkli o’zgaruvchili ikkinchi tartibli xususiy xosilali chiziqli differentsial tenglamalarga qaratamiz. Bunday tenglamalar misolida qaraladigan metodlarning asosiy g’oyasi yaxshi tushunarli bo’lib, hisoblash sxemasi ham soddaroq, bo’ladi.
Shuni ham taʼkidlash kerakki, bitta tenglama uchun qaraladigan metodlarni bir necha nomaʼlum funktsiyalarni o’z ichiga olgan tenglamalar sistemasi uchun ham tatbiq, qilish mumkin.
Tur metodi (chekli-ayirmali metod) xususiy hosilali differentsial tenglamalarni yechishning keng tarqalgan metodlaridandir.
2. To’r metodining g’oyasi. To’r metodining g’oyasi bilan
(2.1)
tenglama uchun Dirixle masalasini yechish misolida tanishamiz. Bunda koeffitsientlar va ozod had chegarasi dan
iborat bulgan chekli D sohada aniqlangan ikki va o’zgaruvchilarning funktsiyalaridir. Bu funktsiyalar yopiq sohada
aniqlangan hamda da shartlarni kanoatlantiradi, deb faraz qilamiz.
Faraz qilaylik, (2.1) tenglamaning da uzluksiz va da
berilgan qiymatlarni qabul qiladigan, yaʼni
( 2.2)
yechimini topish talab qilinsin, bunda uzluksiz
funktsiyadir.
Takribiy yechimning sonli qiymatlarini topish uchun tekisligida
parallel to’g’ri chiziqlarning ikkita oilasini o’tkazamiz. Bunda
mos ravishda abstsissa va ordinata yo’nalishlaridagi qadamlar
deyiladi. Bu to’g’ri chiziqlarning kesishgan nuqtalari tugunlar deyiladi, tugunlar to’plami esa to’rni tashkil etadi. Odatda,
qadamlar bir-biriga bog’lik, ravishda tanlanadi, masalan,
( va qandaydir sonlar), xususiy xolda . Shuning uchun ham qaralayotgan to’r bitta parametrga bog’lik, bo’lib,
qadam kichrayganda .
Аgar ikkita tugun 0xt o’qi yoki 0x2 o’qi bo’ylab to’rning shu
yo’nalishi bo’yicha bir-biridan bir qadam uzoqlikda joylashgan
bo’lsa, ularni qo’shni tugunlar deymiz.
Faqatt S da yotgan tugunlar to’plamini qaraymiz. Аgar biror tugunning to’rtala ko’shni tugunlari to’plamda yotsa, u holda bu tugunni ichki tugun deymiz. Ichki tugunlar to’plamini to’r soha deymiz va
Gh orqali belgilaymiz. Аgar tugunning hech bo’lmaganda birorta
Ko’shnisi Gh da yotmasa, u holda bu tugun chegaraviy tugun, ularning
to’plamini esa to’r sohaning chegarasi deymiz va Gn orqali belgilaymiz.
Аgar Gh to’r soha Gn chegarasi bilan birgalikda qaralsa, u holda
u_yopik, tur soha deyiladi va
Gh = ChU rh orqali belgilanadi.
Biz Sl to’r ustida aniqlangan ^(x,, x 2) funktsiya uchun
yjk= u ( x , x 2А) belgilash kiritamiz va har bir (/', k) = (x„, x2k)
tugun uchun (2.1) tenglamada qatnashadigan barcha hosilalarni
bo’lingan ayirmalar bilan quyidagicha almashtiramiz:

bunda u.k miqdorlar m(x,, x2) yechimning turning (/, k) - (xi, x 2k)

tugunidagi taqribiy qiymatlaridir. Tenglama koeffitsientlarining (/', k) tugundagi qiymagini ajk, b.k, cik, d.k, ejk, gjk, f , orqali belgilaymiz. Xosilalar o’rniga (2.3)—(2.6) takribiy qiymatlarini qo’yib, natijada (2.1) differentsial tenglamaga mos keladigan quyidagi ayirmali tenglamaga ega bulamiz:
L iU>k = foi _ 2U'k + 3^ 1-1,* ) + 4 / ^ " (U'+1,*+1
~U1-\m\ -U1,\,k+U-,-\,k-\) + Sts{U1M\ ~ 2U>k +U1,k-1)+ (2.7)
+ d - ( J W - U1-ik) + S - (D *+. - U'.k-\) + s iky,k = k ■
Bunday tenglamani xar bir ichki tugun uchun yozish mumkin. Аgar
(/', k) chegaraviy tugun bo’lsa, u xolda u.k ni bu tugunga yaqinroq,
Bo’lgan sr n i ng G ustidagi qiymatiga teng deb olamiz (chegaraviy
tugunlarda u.k larning qiymatini boshqacha yo’l bilan topishni
biz keyinroq ko’rib chikamiz). Shunday qilib, yechimning ichki tugunlardagi u.k qiymatini topish uchun algebraik tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz. Bu sistemada tenglamalarning soni nomaʼlumlar soniga teng. Аgar bu sistema yechimga ega bo’lsa, u xolda uni yechib, ichki tugunlarda qidirilayotgan yechimning takribiy qiymatiga ega bo’lamiz.
Biz bu yerda to’g’ri burchakli to’rtburchakdan tuzilgan to’rni ko’rdik. Keyinchalik boshqa xildagi turlarni ham ko’rib chiqamiz.