X ususiy xosilаli differentsiаl tenglаmаlаrni tаkribiy yechISh umumiy tushunchаlаr

3 . Turg’unlik va approksimatsiyaning yaqinlashish bilan aloqasi. Bu tushunchalar orasida quyidagi alqa mavjud: approksimatsiya va turg’unlikdan yaqinlashish kelib chiqadi.
Filippov teoremasi. Faraz silaylik, (2.10), (2.11) to’rdagi approksimatsiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:
1) differentsial masalaning yechimi (t -k)t a turdagi chegaraviy
shartlarni aniq qanoatlantiradi:
j = k + l,...,m,
yaʼni
Pj(h) = 0 , j = k + 1, ...,t\
2) ushbu
Rjhuh =0, j = k + \,...,t
bir jinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan Uh dagi funktsiyalarning sinfida turg’unlik sharti bajariladi:
I K I L 2 + Ye m u 1 K a 1 • U=1 J "
U holda quyidagi tengsizlik o’rinli bo’ladi:
I K - K L - H Mj Pj ( h)- (2.17)
Аgar ayirmali masala differentsial masalani approksimatsiya qilsa,
u xolda Oda

munosabat o’rinli buladi,

Isboti. Teoremaning 1) shartidan Rjh («А - [w]J = 0 J = k + 1,
... , t kelib chikdtsi, 2) shartda esa iI o’rniga uh— \u]h ni qo’yib,
quyidagiga ega bo’lamiz:
IK ~ - Mo \LhUh - Lh [u\h\Fh +
+X Mi \Rjhuh - Rjh M j„ ,. •
y=l J
Bunda Lhuh = fh, Rjhuh =
ni ko’ysak, u holda r;(/?) ning taʼrifidan
(2.17) kelib chiqadi. Аgar approksimatsiya o’rinli bo’lsa, yaʼni h —>0
da j = 0, 1, ..., k uchun p.(h) -» 0 va r(/g) —» 0 munosabatlar o’rinli
bo’lsa, natijada (2.17) tengsizlikdan teoremaning ikkinchi tasdiqi
kelib chiqadi.
Eslatma .Аgar mosli k sharti bajarilsa, u holda sillik, i funktsiyalar
uchun I—>0 da (2 .1 3 ) munosabagda limitga o’tib, quyidagi
tengsizlikni hosil qilamiz. Bundan esa (2.10) — (2.11) differentsial masalaning korrektligi kelib chiqadi. Ko’pincha shu yo’l bilan, yaʼni avval (2.13)
tengsizlikni, keyin undan (2.18) tengsizlikni hosil qilib, (2.10), (2.11)
ko’rinishdagi differentsial masalalarning korrektligi tekshiriladi va ularning yechimi mavjudligi hamda yagonaligi isbot qilinadi.
Endi ayirmali sxemalarni qurish va ularni tekshirish tug’risida ayrim muloxazalarni aytish mumkin:
1. Аvvalo, to’rni tanlash, yaʼni (7soxa va Gkonturni qandaydir
To’r soxa bilan almashtirish koidasi ko’rsatiladi.
2. Keyin konkret ravishda bitta yoki bir nechta ayirmali sxema
quriladi; approksimatsiya shartlarining bajarilishi tekshiriladi
va approksimatsiyaning tartibi aniqlanadi.
3. Qurilgan ayirmali sxemaning turg’unligi tekshiriladi. Bu
esa eng muxim va og’ir masala xisoblanadi. Аgar ayirmali masala
approksimatsiya va turg’unlikka ega bo’lsa, yuqoridagi teoremaga ko’ra
u yaqinlashadi.
4. Аyirmali sxema tenglamalarini sonli yechish masalasi qaraladi. Odatda, tenglamalarning soni ko’p bo’lib, bunday sistemani
yechish ko’p mexnat talab qiladi. Shuning uchun ham to’r metodida
hosil buladigan sistemalarni yechish uchun maxsus metodlar yaratilgan va yaratilmoqda.
Biz bundan keyingi bayonimizda yuqorida kiritilgan tushunchalarni elliptik, parabolik va giperbolik tenglamalarni sonli yechish jarayonida imkoni boricha tularok, yoritishga harakat qilamiz.