Xususiy hosilali differensial tanglamalar va ularni yechish usullari

u(t, x)
izlanuvchi funksiya, u har xil masalalarda har xil

fizik ma’noga ega, t  vaqt, x  chiziqli koordinata, a² -o`zgarmas koeffisiyent. Bu
tenglama yordamida ingichga torlar, har xil materiallardan ishlangan tayoqlar va boshqa xildagi narsalarning ko`ndalang va bo`lama tebranishlari jarayonlarini o`rganish mumkin.
Quvurlarda qovushqoq suyuqliklarning nostatsionar harakati suyuqlik zichligi o`zgarmas bo`lganda
 ^{ W}  2aW ^   ^p ,
^ t ^ x
 

_c2 W
x
p
 _t
(3.3)

tenglamalar sistemasi bilan aniqlanadi. Bunda W  quvur ko`ndalang kesimi bo`yicha o`rtacha suyuqlik tezligi, p -bosim, t -vaqt, x  quvur o`qi bo`yicha

yo`nalgan koordinata, c  suyuqlikda tovush tarqalishi tezligi,  suyuqlik

qovushiqligi, d  quvur diametri,
2a  ^32 .
d ²

(3.3) sistemadan W ni istisno qilib (yo`qotib)

tenglamaga kelamiz.

² p _
t²
2a ^p 
t
₂ ² p
^c x²

(3.4)

Agar (3.3) sistemadan bosim p istisno qilinsa, (3.4) tenglamaga o`xshash

tenglamani hosil qilamiz.
²W W


t^{2 2a} t
²W

_ 2
^c x²
(3.5)

Ma’lumki, issiqlik tarqalish hodisasi Fur’ye qonuni asosida o`rganiladi. Agar jism sirtiga o`tkaziladigan issiqlik ta’siri vaqt bo`yicha juda tez o`zgarsa va jism har xil materiallar aralashmasidan iborat bo`lib, bu materiallar turli issiqlik xossalariga ega bo`lsa, Fur’ye qonunidan chetlanish yuz beradi. Issiqlik oqimi temperatura gradiyenti gradT ma’lum darajada o`zgarganda o`zining statsionar holatiga darhol emas, ma’lum vaqt o`tgach erishadi. Bu o`tish vaqtining davomiyligi relaksatsiya vaqti deb ataluvchi kattalik bilan aniqlanadi. Umumlashgan Fur’ye qonuni

q  ^{ q}  gradT
t

(3.6)

ko`rinishda bo`ladi. Bunda  ^ issiqlik oqimining relaksatsiya vaqti,   issiqlik o`tkazuvchanlik koeffisiyenti, T  temperatura.


(3.6) qonun asosida

T _
t ^p
²T
t²
²T ^a x²

(3.7)

issiqlik uzatish tenglamasi keltirib chiqariladi. Bunda  _p
bo`ladi, a  temperatura o`tkazuvchanlik koeffisiyenti.
ga chiziqli bog`liq

(3.4), (3.5), (3.7) tenglamalar giperbolik tipga tegishlidir, chunki D  0 .

(3.2), (3.4), (3.5), (3.7) ko`rinishdagi tenglamalar uchun odatda ikkita boshlang`ich va ikkita chegaraviy shart beriladi. Masalan, qaralayotgan soha [a, b]

kesmadan iborat bo`lsa,