Xususiy hosilali differensial tenglamalarni Maple da yechish usullari

Xususiy hosilali differensial tenglamalarni Maple da yechish usullari


Maple dasturining yangi versiyasi xususiy hosilalardagi ba’zi differensial tenglamalar sinfini analitik yechishga “qodir”. Shu maqsadda pdesolve (tenglamalar, o'zgaruvchilar) komandasi kiritilgan.

Misollar keltiramiz.

• 
  restart;pdesolve( diff(f(x,y),x,x)+5*diff(f(x,y),x,y)=3, f(x,y) );
  

Ushbu tenglamani yechishda_F1, _F2 erkin funksiyalari mavjud.

• 
  pdesolve( 3*diff(g(x,y),x)+7*diff(g(x,y),x,y)=x*y, g(x,y) );
  

Maple doimiy koeffitseyent ega bo'lmagan tenglamalardan ayrim turlarining yechimini topa oladi, misol

• 
  pdesolve(y*diff(U(x,y),x)+x*diff(U(x,y),y)=0, U(x,y) );
  

Uchta mustaqil o'zgaruvchilardan U ning funksiyasi uchun turdosh bo'lmagan tenglama

• 
  pdesolve( diff(U(x, y, z), x)+2*diff(U(x, y, z), y)+5*diff(U(x, y, z),
  

z)=13*x*y*z, U(x, y, z) );

Navbatdagi ikkita misol matematik-fizika tenglamalari hisoblanadi.

Issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasi

>restart;heat:=diff(u(x,t),t)-k*diff(u(x,t),x,x)=0;



Komanda pdesolve ning "peshonaga" komandasi bu tenglamani yechmaydi, albatta

• 
  pdesolve(heat,u(x,t));
  

Bizga tanish bo'lgan o'zgaruvchilarni bo'lish usulini qo'llaymiz. Buning uchun dastlab o'rin almashtirish usulini amalga oshiramiz.

• 
  eq:=subs(u(x,t)=X(x)*T(t),heat);
  

Endi tenglamaning ikkala qismini X(x)*T(t) bo'lamiz

> expand(eq/X(x)/T(t));



O'zgaruvchilarni bo'lamiz.

• 
  sep:=(%)+(k*diff(X(x),x,x)/X(x)=k*diff(X(x),x,x)/X(x));
  

Olingan tenglikning o'ng va chap qismlarida har xil o'zgaruvchilarning funksiyalari turganligi sababli o'ng va chap qismlar doimiy kattalik hisoblanadi.

• 
  lhs(sep)=C;
  

Endi biz oddiy differensial tenglama va uning yechimiga ega bo'ldik.

• 
  T_sol:=dsolve(%,T(t));
  

> map(subs,[X_sol],T_sol,X(x)*T(t));



> sol:=map(simplify,%);



Soddalashtirish maqsadida erkin o'zgarmaslar uchun aniq qiymatlarning o'rnini
almashtirishni bajaramiz

• 
  subs(C=k,k=1,_C1=1,_C2=1,sol);
  

• 
  evalc(%);
  

Trigonometrik ko'rinishga o'tkazamiz

• 
  convert(%,trig);
  

• 
  S:=evalc(%);
  

Endi birinchi yechimning grafigini qurish mumkun.

• 
  plot3d(op(S),x=-5..5,t=0..5);
  

Birinchi yechimning to'g'riligini tekshiramiz.

• 
  simplify(subs(u(x,t)=sol[1],heat));
  

Yana bitta misol tariqasida to'lqinli tenglamani ko'rib chiqamiz.

• 
  restart;wave :=diff(u(x,t),t,t)-c^A2* diff(u(x,t),x,x);