Xususiy hоsilali differentsial tenglama haqida tushuncha. Cheksiz tоr uchun Kоshi masalasini yechish. Asоsiy masalalarning qo`yilishi: Kоshi masalasi, chegaraviy masalalar, aralash masalalar

Agar biror M nuqtada

1. bo’lsa, (1) tenglama giperbolik turdagi

2. bo’lsa, (1) tenglama parabolik turdagi

3. bo’lsa, (1) tenglama elliptik turdagi

tenglamaga mansub bo’ladi.

1.To’lqin tarqalish tenglamasi:

(I)

(I) tenglama torning ko’ndalang tebranishini, sterjenni uzunasiga tebranishi, simda elektr tebranishlar, aylanuvchi valdagi aylanma tebranishlar, gazning tebranishlari va shu kabi tebranuvchi jarayonlarni ifodalaydi. Bu tenglama giperbolik tipdagi eng sodda tenglamadir.

2. Issiqlik tarqalish tenglamasi:

(II)

(II) tenglama issiqlik tarqalish jarayonini, g’ovak muhitda suyuqlik va gazning filtrlanish masalasini ifodalaydi. Bu tenglama parabolik tipdagi eng sodda tenglamadir.

3. Laplas tenglamasi

(III)

(III) tenglama elektr va magnit maydonlari haqidagi masalani, statsionar issiqlik holati haqidagi masalani, gidrodinamika, diffuziya va shunga o’xshash masalalarni o’rganishga olib keladi. Bu tenglama elliptik tipdagi eng sodda tenglamadir.

Bu tenglamalar uch o’zgaruvchi uchun quyidagicha bo’ladi.

To’lqin tenglamasi:

(I¹)

Issiqlik tarqalish tenglamasi:

(II¹)

Laplas tenglamasi:

(III¹)

Matematik-fizikada tor deganda egiluvchan va plastik ip tushiniladi. Torda har qanday vaqt momentida paydo bo’lgan zo’riqish uning profiliga o’tkazilgan urinma bo’yicha yo’nalgan bo’ladi. Masalan, L uzunlikdagi tor boshlang’ich momentda OX o’qining O dan L gacha bo’lgan kesmasi bo’yicha yo’nalgan bo’lsin.

Torning uchlari va nuqtalarga biriktirilgan deb faraz qilamiz. Agar torni uning dastlabki holatidan chetlashtirsak, so’ngra o’z holiga qo’yib yuborsak yoki torni chetlatmasdan, boshlang’ich momentdan uning nuqtalariga biror tezlik bersak, u holda torning nuqtalari harakatga keladi - tor tebrana boshlaydi. Masala har qanday vaqt momentida tor shaklini aniqlashdan hamda torning har bir nuqtasining vaqtga qarab harakat qonunini aniqlashdan iborat.


Tor nuqtalarining boshlang’ich holatidan kichik chetlanishlarini qaraymiz. Sunga kqra, tor nuqtalarining harakati OX o’qqa perpendikulyar holda va bir tekislikda vujudga keladi deb faraz qilish mumkin. Bu faraz bilan torni tebranishi jarayoni bitta funktsiya bilan ifoda etiladi. Bu funksiya abssissasi t momentida siljish miqdorini beradi (1-chizma).


2-chizma


1-chizma

Biz torninng (X, U) tekislikda kichik chetlanishlarini qarayotganimiz uchun, tor elementi uzunligi M₁M₂ uning OX o’qdagi proyeksiyasiga teng, ya’ni deb faraz qilamiz. Yana torning barcha nuqtalarida taranglik ham bir xil deb faraz qilamiz: uni T bilan belgilaymiz.

Torning MM¹ elementini qaraymiz (2-chizma). Bu elementning uchlarida T kuchlar torga urinma bo’yicha tahsir etadi. Urinmalar OX o’q bilan va burchaklar hosil qilsin. Bu holda MM¹ elementga tasir etuvchi kuchlarning OU o’qdagi proyeksiyasi ga teng bo’ladi. burchak juda kichik bo’lgani uchun deb faraz qilish mumkin va biz quyidagiga ega bo’lamiz: