Yevklid geometriyasi tushunchasi. Evklid fazo harakatiga misollar. Haqiqiy Evklid fazosining ta’rifi

Mavzu: Psevdo Yevklid tekisligida geometriya.
Reja:

1. 
   Yevklid geometriyasi tushunchasi.
   
2. 
   Evklid fazo harakatiga misollar.
   
3. 
   Haqiqiy Evklid fazosining ta’rifi.
   
4. 
   Ortonormal asos.
   
5. 
   Evklid fazosida ortonolmas basis qurish
   

Hali maktab davridayoq barcha o'quvchilar "Yevklid geometriyasi" tushunchasi bilan tanishadilar, uning asosiy qoidalari nuqta, tekislik, chiziq, harakat kabi geometrik elementlarga asoslangan bir nechta aksiomalarga qaratilgan. Ularning barchasi birgalikda "Yevklid fazosi" atamasi ostida uzoq vaqtdan beri ma'lum bo'lgan narsani tashkil qiladi.

Vektorlarni skalyar ko'paytirish pozitsiyasiga asoslangan Evklid chiziqli (affin) fazoning alohida holati bo'lib, bir qator talablarni qondiradi. Birinchidan, vektorlarning skalyar ko‘paytmasi mutlaqo simmetrikdir, ya’ni koordinatalari (x; y) bo‘lgan vektor miqdoriy jihatdan koordinatalari (y; x) bo‘lgan vektor bilan bir xil, lekin yo‘nalishi bo‘yicha qarama-qarshidir.
Ikkinchidan, agar vektorning o'zi bilan skalyar mahsuloti bajarilsa, bu harakatning natijasi ijobiy bo'ladi. Faqatgina istisno bu vektorning boshlang'ich va yakuniy koordinatalari nolga teng bo'lgan hol bo'ladi: bu holda uning o'zi bilan mahsuloti ham nolga teng bo'ladi.

Uchinchidan, skalyar ko'paytma distributivdir, ya'ni uning koordinatalaridan birini ikkita qiymat yig'indisiga ajratish imkoniyati mavjud bo'lib, bu vektorlarni skalyar ko'paytirishning yakuniy natijasida hech qanday o'zgarishlarga olib kelmaydi. Nihoyat, to'rtinchidan, vektorlar bir xil skalyar mahsulotga ko'paytirilsa, ular ham bir xil miqdorga ortadi.

Agar ushbu to'rtta shart bajarilsa, biz Evklid fazosiga ega ekanligimizni ishonch bilan aytishimiz mumkin.
Amaliy nuqtai nazardan, Evklid fazosini quyidagi aniq misollar bilan tavsiflash mumkin:

1. 
   Eng oddiy holat - geometriyaning asosiy qonunlariga ko'ra aniqlangan skalyar mahsulotga ega vektorlar to'plamining mavjudligi.
   
2. 
   Evklid fazosi, agar vektorlar deganda ularning skalyar yig'indisi yoki mahsulotini tavsiflovchi berilgan formulaga ega bo'lgan ma'lum bir chekli haqiqiy sonlar to'plami nazarda tutilgan bo'lsa ham olinadi.
   
3. 
   Evklid fazosining alohida holati nol fazo deb tan olinishi kerak, agar ikkala vektorning skalyar uzunligi nolga teng bo'lsa, olinadi.
   

Evklid fazosi bir qator o'ziga xos xususiyatlarga ega. Birinchidan, skalyar koeffitsient qavs ichidan skalyar ko'paytmaning ham birinchi, ham ikkinchi omillaridan chiqarilishi mumkin, natijada hech qanday o'zgarishlar bo'lmaydi. Ikkinchidan, nuqta mahsulotining birinchi elementining taqsimlanishi bilan birga ikkinchi elementning taqsimlanishi ham harakat qiladi. Bundan tashqari, vektorlarning skalyar yig'indisidan tashqari, vektorlarni ayirish holatida distributivlik ham sodir bo'ladi. Nihoyat, uchinchidan, vektorni nolga skalyar ko'paytirish bilan natija ham nolga teng bo'ladi.

Shunday qilib, Evklid fazosi vektorlarning bir-biriga nisbatan o'zaro joylashishi bilan bog'liq muammolarni hal qilishda qo'llaniladigan eng muhim geometrik tushuncha bo'lib, uning tavsifi uchun skalyar mahsulot kabi tushuncha qo'llaniladi.
Bunday vektor fazoga mos keladi. Ushbu maqolada, birinchi ta'rif boshlang'ich nuqtasi sifatida olinadi.
n-o'lchovli Evklid fazosi belgilanadi \ mathbb E ^ n, belgi ham tez-tez ishlatiladi \ mathbb R ^ n(agar kontekstdan fazoning Evklid tuzilishiga ega ekanligi aniq bo'lsa). Hatto maktabda ham barcha o'quvchilar "Yevklid geometriyasi" tushunchasi bilan tanishadilar, uning asosiy qoidalari nuqta, tekislik, chiziq, harakat kabi geometrik elementlarga asoslangan bir nechta aksiomalarga qaratilgan. Ularning barchasi birgalikda "Yevklid fazosi" atamasi ostida uzoq vaqtdan beri ma'lum bo'lgan narsani tashkil qiladi.
Vektorlarni skalyar ko'paytirish pozitsiyasiga asoslangan Evklid bir qator talablarni qondiradigan chiziqli (affin) fazoning maxsus holatidir. Birinchidan, vektorlarning skalyar ko‘paytmasi mutlaq simmetrik, ya’ni koordinatalari (x; y) bo‘lgan vektor miqdoriy jihatdan koordinatali (y; x) vektor bilan bir xil, lekin yo‘nalishi bo‘yicha qarama-qarshidir.
Ikkinchidan, agar vektorning o'zi bilan skalyar ko'paytmasi bajarilsa, bu harakatning natijasi ijobiy bo'ladi. Faqatgina istisno bu vektorning boshlang'ich va yakuniy koordinatalari nolga teng bo'lgan hol bo'ladi: bu holda uning o'zi bilan mahsuloti ham nolga teng bo'ladi.
Uchinchidan, skalyar ko'paytma distributivdir, ya'ni uning koordinatalaridan birini ikkita qiymat yig'indisiga ajratish mumkin, bu vektorlarni skaler ko'paytirishning yakuniy natijasida hech qanday o'zgarishlarga olib kelmaydi. Nihoyat, to'rtinchidan, vektorlar bir xil skalyar ko'paytmaga ko'paytirilsa, ular ham bir xil ko'rsatkichga ortadi.
Agar ushbu to'rtta shart bajarilsa, biz Evklid fazosiga ega ekanligimizni ishonch bilan aytishimiz mumkin.
Amaliy nuqtai nazardan Evklid fazosini quyidagi aniq misollar bilan tavsiflash mumkin:

1. 
   Eng oddiy holat - geometriyaning asosiy qonunlariga ko'ra aniqlangan skalyar mahsulotga ega vektorlar to'plamining mavjudligi.
   
2. 
   Evklid fazosi, agar vektorlar deganda ularning skalyar yig'indisi yoki mahsulotini tavsiflovchi berilgan formulaga ega bo'lgan ma'lum bir chekli haqiqiy sonlar to'plami nazarda tutilgan bo'lsa ham olinadi.
   
3. 
   Evklid fazosining alohida holati nol fazo deb ataladi, agar ikkala vektorning skalyar uzunligi nolga teng bo'lsa, olinadi.
   

Evklid fazosi bir qator o'ziga xos xususiyatlarga ega. Birinchidan, skalyar koeffitsient qavs ichidan skalyar ko'paytmaning birinchi va ikkinchi koeffitsientidan ham chiqarilishi mumkin, bundan natija o'zgarmaydi. Ikkinchidan, skalar mahsulotning birinchi elementining taqsimlanishi bilan bir qatorda ikkinchi elementning taqsimlanishi ham ta'sir qiladi. Bundan tashqari, vektorlarning skalyar yig'indisidan tashqari, vektor ayirish holatida distributivlik ham sodir bo'ladi. Nihoyat, uchinchidan, vektorni nolga skalyar ko'paytirish bilan natija ham nolga teng bo'ladi.
Shunday qilib, Evklid fazosi vektorlarning bir-biriga nisbatan o'zaro joylashishi bilan bog'liq muammolarni hal qilishda qo'llaniladigan eng muhim geometrik tushuncha bo'lib, u skalyar mahsulot kabi tushuncha bilan tavsiflanadi.
Bunday vektor fazoga mos keladi. Ushbu maqolada birinchi ta'rif dastlabki ta'rif sifatida qabul qilinadi.
n-o'lchovli Evklid fazosi belgilanadi \mathbb E^n, ham tez-tez ishlatib turadigan belgi \mathbb R^n(agar kontekstdan fazoning Evklid tuzilishiga ega ekanligi aniq bo'lsa).