Yevklid geometriyasi tushunchasi. Evklid fazo harakatiga misollar. Haqiqiy Evklid fazosining ta’rifi

Rasmiy ta'rif
Evklid fazosini aniqlash uchun nuqta mahsulotining asosiy tushunchasi sifatida qabul qilish oson. Evklid vektor fazosi vektorlarida real qiymatli funktsiya berilgan haqiqiy sonlar maydoni ustidagi chekli o'lchovli vektor fazosi sifatida aniqlanadi. (\cdot, \cdot), quyidagi uchta xususiyatga ega:

• 
  Billinearlik: har qanday vektorlar uchun u,v,w va har qanday haqiqiy raqamlar uchun a, b\quad (au+bv, w)=a(u,w)+b(v,w) va (u, av+bw)=a(u,v)+b(u,w);
  
• 
  Simmetriya: har qanday vektorlar uchun u,v\quad (u,v)=(v,u);
  
• 
  Ijobiy aniqlik: har qanday uchun u\quad(u,u)\geqslant 0, va (u,u)=0\O‘ng strelka u=0.
  

Evklid fazosi misoli - koordinatali fazo \mathbb R^n, haqiqiy sonlarning barcha mumkin bo'lgan kortejlaridan iborat (x_1, x_2, \ldots, x_n), formula bilan aniqlanadigan skalyar mahsulot (x,y) = \sum_(i=1)^n x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n.
Uzunlik va burchaklar
Evklid fazosida berilgan skalyar mahsulot uzunlik va burchakning geometrik tushunchalarini kiritish uchun yetarli. Vektor uzunligi u sifatida belgilangan \sqrt((u,u)) va belgilandi |u|. Ichki mahsulotning ijobiy aniqligi nolga teng bo'lmagan vektor uzunligi nolga teng bo'lmaganligini kafolatlaydi va ikki chiziqlilikdan kelib chiqadi: |au|=|a||u|, ya'ni proportsional vektorlarning uzunliklari proporsionaldir.
Vektorlar orasidagi burchak u va v formula bilan aniqlanadi \varphi=\arccos \left(\frac((x,y))(|x||y|)\o'ng). Kosinus teoremasidan kelib chiqadiki, ikki o'lchovli Evklid fazosi uchun ( evklid tekisligi) bu ta'rif burchak odatdagiga to'g'ri keladi. Ortogonal vektorlar, uch o'lchovli fazoda bo'lgani kabi, vektorlar sifatida ham aniqlanishi mumkin, ularning orasidagi burchak tengdir. \ frac (\ pi) (2).
Koshi-Bunyakovskiy-Shvars tengsizligi va uchburchak tengsizligi
Yuqorida berilgan burchak ta'rifida bitta bo'shliq qoldi: maqsadida \arccos \left(\frac((x,y))(|x||y|)\o'ng) belgilangan edi, bu tengsizlik zarur \left|\frac((x,y))(|x||y|)\right|\leqslant 1. Bu tengsizlik haqiqatan ham ixtiyoriy Evklid fazosida mavjud bo'lib, u Koshi-Bunyakovskiy-Shvars tengsizligi deb ataladi. Bu tengsizlik, o'z navbatida, uchburchak tengsizligini anglatadi: |u+v|\leqslant |u|+|v|. Uchburchak tengsizligi yuqorida sanab o'tilgan uzunlik xossalari bilan birga vektor uzunligi Evklid vektor fazosida norma ekanligini anglatadi va funktsiya d(x,y)=|x-y| Evklid fazosida metrik fazoning strukturasini belgilaydi (bu funktsiya Evklid metrikasi deb ataladi). Xususan, elementlar orasidagi masofa (nuqta) x va y koordinatali bo'shliq \mathbb R^n formula bilan beriladi d(\mathbf(x), \mathbf(y)) = \|\mathbf(x) - \mathbf(y)\| = \sqrt(\sum_(i=1)^n (x_i - y_i)^2).