Yo`nalish bo`yicha hosila. Gradient

Vektor maydonning yopiq sirt bo‘yicha oqimini hajm
bo‘yicha olingan integral orqali ifodalash haqidagi
Ostogradskiy teoremasi.
Yopiq sirt bo‘yicha olingan sirt integrali (vektor maydon oqimi) hamda shu sirt bilan chegaralangan fazoviy soha bo‘yicha olingan uch karrali integral orasidagi bog‘lanishni aniqlaymiz.
Teorema. Agar

vektor maydon proeksiyalari sohada o‘zining birinchi tartibli xususiy hosilasi bilan birga uzluksiz bo‘lsa, u holda yopiq sirt orqali vektor oqimini shu sirt bilan chegaralangan hajm bo‘yicha uch karrali integralni quyidagi formula bo‘yicha shakl almashtirish mumkin:


bu yerda integrallash sirtning tashqi tomoni bo‘yicha amalga oshiriladi (sirtga o‘tkazilgan normal fazoning tashqi qismiga yo‘nalgan).
(61) formula Ostogradskiy formulasi deyiladi.
Isboti. Faraz qilaylik soha sirtning (va sohaning) sirtdagi proeksiyasi bo‘lsin, va esa shu sirtning pastki va yuqoridagi qismlarining tenglamasi bo‘lsin (10-chizma). Ushbu

10-chizma.



uch karrali integralni sirt integraliga almashtiramiz.
Buning uchun uni ikki karrali integralga keltiramiz va bo‘yicha integrallaymiz. Bundan:


soha ham sirtning, ham sirtning tekislikdagi proeksiyasi bo‘lgani uchun (11) formuladagi ikki karrali integrallarni ularga teng bo‘lgan

sirt integrallari bilan almashtirish mumkin. Natijada quyidagini hosil qilamiz:

Ikkinchi qo‘shiluvchida sirtning tashqi tomonini ichkisiga almashtirib, quyidagini hosil qilamiz:


bu yerda yopiq sirtning tashqi tomoni olinadi.
Quyidagi formulalar ham xuddi shunga o‘xshash hosil qilinadi:


(63), (64), (65) tengliklarni hadma-had qo‘shib, Ostrogradskiyning (61) formulasiga kelamiz, shuni isbotlash talab qilingan edi. Bu formula teoremaning shartini qanoatlantiruvchi sohalarga bo‘lish mumkin bo‘lgan istalgan fazoviy soha uchun to‘g‘ri bo‘ladi. Bu formula yordamida yopiq sirtlar bo‘yicha sirt integrallarini hisoblash qulay bo‘ladi.