Yosh matematik

6-MAVZU:G’iyosiddin Jamshid Koshiy.

Ulug’bek ilmiy maktabining yirik olimlaridan biri Jamshid Ko-shiydir. Koshiy 1385 yilda Koshon shahrida tug’ildi. Koshiy yoshligi-danoq o’z davrining yetuk matematik, astronom olimi sifatida shuh-rat qozongan. Ulug’bek uni ham Samarqandga taklif etadi, bu taklif-ni qabul qilib, Koshiy 1417 yilda Samarqandga keladi va Ulug’bek ra-sadxonasini qurishda faol qatnashadi, katta ilmiy ishlar olib boradi.

Ilmiy ishlar natijasini o’zining 10 ta astronomiyaga oid, 3 ta matematikaga oid asarlarida bayon etdi. Jamshid Koshiyning asarla-ridan biri “ Arifmetika kaliti”dir. Bu asar o’rta asr elementar mate-matika ensiklopediyasi hisoblanadi. Koshiy bu asarini 1427 yilda yozgan. “ Arifmetika kaliti” asari kirish va besh qismdan iborat. Kirish qismida arifmetikaning ta’rifi, son va uning turlari haqida yo-zilgan bo’lib, 6 bobdan iborat.

Ikkinchi qism esa kasr sonlar arifmetikasiga bag’ishlangan bo’-lib, 12 bobdan iborat. Bu qismda u turli xil kasrlar, ular ustida amallar bajarish va o’nli kasrlar haqida muhim fikrlar bayon etgan. Koshiy maxrajlari 10, 100, 1000, … bo’lgan kasrlarni, ya’ni o’nli kasrlarni yozish, o’qish terminlarini kiritgan. Koshiy bu kasrlarni ta’riflab, “o’ndan”, “yuzdan”, “mingdan”,…deb o’qishni, yozishda esa butun qismdan keyin kasr qismini yozishni yoki o’nli kasrning butun qismini boshqa rangli siyohda yozishni tushuntiradi. O’nli kasrlar ustida amallar bajarishga oid juda ko’p misollar keltiradi. Shunday qilib, Koshiy o’nli kasrlar nazariyasini asoslagan birinchi olim hisoblanadi.

1424 yilda Samarqandda Koshiy “ Aylana haqida risola”asarini taraqqiyotining eng yuqori cho’qqisi hisoblanadi. Ma’lumki, aylana uzunligining diametrga nisbati o’zgarmas son bo’lib, uni “” harfi bilan belgilanadi. Koshiy bu asarda “” ning qiymatini juda kata aniqlikda verguldan keyin 17 ta raqam bilan aniqlaydi.

“”=3,14159265358997932.

Koshiyning yuqorida ko’rilgan hisoblashlari katta aniqlikka ega bo’lib, hammani hayratga soladi va Koshiy matematika tarixida o’chmas iz qoldiradi.

MMIBDO’: / / B.Teshaboev

Sana:______

7-MAVZU: Tenglamalar sistemasini yechish usullari.

• O`rniga qo`yish usuli quyidagilardan iborat:

  
  

1) sistemaning bir tenglamasidan (qaysinisidan bo`lsa ham farqi yo`q) bir noma'lumni ikkinchisi orqali, masalan, y ni x orqali ifodalash kerak; 

2) hosil qilingan ifodani sistemaning ikkinchi tenglamasiga qo`yish kerak bir noma'lumli tenglama hosil bo`ladi;

3) bu tenglamani yechib, x ning qiymatini topish kerak; 

4) x ning topilgan qiymatini y uchun ifodaga qo`yib, y ning qiymatini topish kerak

Tenglamalar sistemasini yeching:

Tenglamalar sistemasida shakl almashtiramiz (umumiy maxrajga keltiramiz):

1) 9x+2y=12, 2y=12-9x,

2)

3)

Javob: x=0, y=6. ▲

• Tenglamalar sistemasini algebraik qo`shish usuli bilan yechish uchun:

  
  

1) noma'lumlardan birining oldida turgan koeffitsiyentlar modullarini tenglashtirish;

2) hosil qilingan tenglamalarni hadlab qo`shib yoki ayirib, bitta noma'lumni topish;

3) topilgan qiymatni berilgan sistemaning tenglamalaridan biriga qo`yib, ikkinchi noma'lumni topish kerak.

Tenglamalar sistemasini yeching. 

(2)

1) Birinchi tenglamani o`zgarishsiz qoldirib, ikkinchi tenglamani 4 ga ko`paytiramiz:

(3)

2) (3) sistemaning ikkinchi tenglamasidan birinchi tenglamani hadlab ayirib, topamiz: 11y =-22, bundan          y =-2.

3) y =-2 ni (2) sistemaning ikkinchi tenglamasiga qo`yib, topamiz: x + 2 · (-2) =-2, bundan x = 2.

Javob: x = 2, y =-2.▲

• Tenglamalar sistemasini yechishning grafik usuli quyidagilardan iborat:

  
  

1) sistema har bir tenglamasining grafigi yasaladi;

2) yasalgan to`g`ri chiziqlar kesishish nuqtasining (agar ular kesishsa) koordinatalari topiladi. Tenglamalar grafiklari kesishish nuqtasining koordinatalari shu tenglamalar sistemasining yechimi bo`ladi.

Tekislikda ikki to`g`ri chiziq— tenglamalar sistemasi grafiklarining o`zaro joylashuvida uch hol bo`lishi mumkin:

1) to`g`ri chiziqlar kesishadi, ya'ni bitta umumiy nuqtaga ega bo`ladi. Bu holda tenglamalar sistemasi bitta (yagona) yechimga ega bo`ladi

2) to`g`ri chiziqlar parallel, ya'ni ular umumiy nuqtalarga ega emas. Bu holda tenglamalar sistemasi yechimlarga ega bo`lmaydi;

3) to`g`ri chiziqlar ustma-ust tushadi. Bu holda sistema cheksiz ko`p yechimlar to`plamiga ega bo`ladi.

1-masala. Quyidagi tenglamalar sistemasi yechimlarga ega emasligini ko`rsating:

                                           sistemaning birinchi tenglamasini 2 ga ko`paytiramiz va hosil bo`lgan tenglamadan berilgan sistemaning ikkinchi tenglamasini hadlab ayiramiz:

  _ 2x + 4y = 12

     2x + 4y = 8  

  _______________________   

               0 = 4   

Noto`g`ri tenglik hosil bo`ldi. Demak, x va y ning (5) sistemaning ikkala tengligi ham to`g`ri bo`la oladigan qiymatlari yo`q, ya'ni (5) sistema yechimlarga ega emas. ▲

Bu, geometrik nuqtai nazardan, (5) sistema tenglamalarining grafiklari parallel to`g`ri chiziqlar bo`lishini anglatadi.(20-rasm)

1. Tenglamalar sistemasini o`rniga qo`yish usuli bilan yeching:

       1)   2)   3)

2. Tenglamalar sistemasini algebraik qo`shish usuli bilan yeching:

       1)   2)   3)

3. Tenglamalar sistemasini grafik usulda yeching:

       1)   2)   3)

   MMIBDO’: / /     B.Teshaboyev

Sana_____