Yoyish usuli. Diffеrеnsial belgisi ostiga kiritish usuli

Kvadrat uchhadli integrallarni hisoblash. Endi kvadrat uchhad qatnashgan ayrim aniqmas integrallarni hisoblash masalasini ko‘rib chiqamiz.

Dastlab ushbu integrallarni qaraymiz:
.
Avvalo maxrajdagi kvadrat uchhaddan to‘liq kvadratni ajratib olamiz:

.
Bu yerda

belgilash kiritilgan. Bunda, agar kvadrat uchhad diskriminanti D=b²–4ac>0 , ya’ni uning ildizlari haqiqiy sonlar bo‘lsa, k² manfiy ishora bilan; D<0 bo‘lsa k² musbat ishora bilan olinadi. Ikkala holda ham k≠0 bo‘lishini ta’kidlab o‘tamiz. D=0 holni keyinchalik ko‘ramiz.
Yuqoridagi tenglik asosida I₁ integralni o‘zgaruvchilarni almashtirish usulida quyidagi ko‘rinishga keltiramiz:
.
Bu tenglikning o‘ng tomonida jadval integrali turibdi va

ekanligini eslatib o‘tamiz.
Bu ko‘rinishdagi integrallarni hisoblashga misollar keltiramiz.
1.
.


2.
.
Endi D=0 bo‘lgan holni qaraymiz. Bu holda k=0 va


natijaga ega bo‘lamiz.
Xuddi shunday tarzda a>0 va k≠0 bo‘lganda


,
a>0 va k=0 bo‘lganda esa


natijalarni olamiz.
Masalan,


.
Endi a<0 holni ko‘ramiz. Bu holda kvadrat uchhad diskriminanti D>0 deb olishimiz kerak, chunki aks holda barcha nuqtalarda ax²+bx+c≤0 va I₂ integral ostidagi funksiya aniqlanmagan bo‘ladi. Bu shartda

.
Endi umumiyroq ko‘rinishdagi quyidagi integrallarni qaraymiz:
.
Oldin I₃ integralni hisoblash yo‘lini ko‘rsatamiz:

.
Bu yerda I₁ yuqorida ko‘rib o‘tilgan integraldir va uni hisoblashni bilamiz.
Misol sifatida ushbu integralni qaraymiz:

.
I₄ integral ham shu kabi hisoblanadi:

.
Bu yerdagi I₂ integralni hisoblash usuli yuqorida ko‘rsatilgan edi.
I₄ ko‘rinishdagi integralni hisoblashga misol keltiramiz:

.