Yoyish usuli. Diffеrеnsial belgisi ostiga kiritish usuli

II. Trapetsiyalar formulasi. Soddalik uchun bu formulani I integral ostidagi funksiya f(x)>0 bo‘lgan holda qaraymiz.Bu yerda ham [a,b] integrallash kesmasini (8) nuqtalar bilan bir xil х uzunlikli n ta [x_i–1, x_i] (i=1, 2, ∙∙∙, n) kesmachalarga bo‘laklaymiz. So‘ngra y=f(x) funksiya grafigidagi A_i–1(x_i–1, f(x_i–1)) va A_i(x_i, f(x_i)) nuqtalarni to‘g‘ri chiziq kesmasi (vatar) bilan tutashtirib, egri chiziqli x_i–1A_i–1 AA_ix_i trapetsiyani to‘g‘ri chiziqli x_i–1A_i–1A_ix_i trapetsiya bilan (75-rasmga qarang) almashtiramiz.

Bu holda to‘g‘ri chiziqli x_i–1A_i–1A_ix_i trapetsiyaning yuzi

egri chiziqli x_i–1A_i–1AA_ix_i trapetsiyaning yuziga taqriban teng deb olish mumkin. Unda bu yuzalarning yig‘indisi aniq integralning taqribiy qiymatiga teng bo‘ladi, ya’ni
(12)
taqribiy formula o‘rinli bo‘ladi.
4-TA’RIF: Aniq integral uchun (12) taqribiy tenglik trapetsiyalar formulasi deyiladi.
Trapetsiyalar formulasining absolut xatoligi
(13)
formula bilan baholanadi.
Misol sifatida (11) aniq integralning taqribiy qiymatini n=10 bo‘lgan holda trapetsiyalar formulasi orqali hisoblaymiz. Oldingi hisoblash natijalaridan foydalanib,

taqribiy tenglikni hosil etamiz. Bunda hosil qilingan taqribiy natijaning absolut xatoligi
Δ=π/4–0.78498=0.7854–0.78498=0.0004
bo‘lib, to‘g‘ri to‘rtburchaklar formulasi absolut xatoligiga (unda Δ=0.0255 ekanligini eslatib o‘tamiz) qaraganda ancha kichikdir. Demak, trapetsiyalar formulasi to‘g‘ri to‘rtburchaklar formulasiga nisbatan aniqroq natija beradi. Buni ularning xatoliklarini ifodalovchi (10) va (13) formulalar orqali ham ko‘rish mumkin.
Ko‘rib o‘tilgan to‘g‘ri to‘rtburchaklar va trapetsiyalar formulalariga nisbatan aniq integralning taqribiy qiymatini aniqroq hisoblashga imkon beradigan boshqa kvadratur formulalar ham mavjudligini ta’kidlab o‘tamiz. Masalan, ingliz matematigi Simpson (1710 – 1761) tomonidan topilgan parabolalar formulasi, Chebishevning kvadratur formulasi shular jumlasidandir.
XULOSA
Differensiallash amaliga nisbatan integrallash amali ancha murakkabdir. Hatto ayrim elementar funksiyalarning aniqmas integrallari elementar funksiyalar sinfida mavjud bo‘lmasdan, ular maxsus (noelementar) funksiyalar orqali ifodalanadi. Bundan tashqari ixtiyoriy aniqmas integralni hisoblashga imkon beradigan universal, umumiy usul mavjud emas. Shu sababli faqat ayrim , ma’lum bir xususiyatlarga ega bo‘lgan, aniqmas integrallarni hisoblash usullarini ko‘rsatish mumkin. Ularga yoyish, differensial ostiga kiritish, o‘zgaruvchilarni almashtirish va bo‘laklab integrallash usullari kiradi.
Ko‘rsatilgan usullardan foydalanib kvadrat uchhad qatnashgan ayrim aniqmas integrallarni hisoblash mumkin.


Tayanch iboralar

* Yoyish usuli * Diffеrеnsial ostiga kiritish usuli * O‘zgaruvchilarni almashtirish usuli * Bo‘laklab integrallash usuli * Kvadrat uchhadli integrallar

Takrorlash uchun savollar

1. 
   Elementar funksiyalarning integrali har doim ham elementar funksiyadan iborat bo‘ladimi?
   
2. 
   Elementar funksiyalar orqali ifodalanmaydigan integrallarga misol keltiring.
   
3. 
   Yoyish usulida integral qanday hisoblanadi?
   
4. 
   Integralni yoyish usulida hisoblashga misol keltiring.
   
5. 
   Diffеrеnsial ostiga kiritish usulining mohiyati nimadan iborat?
   
6. 
   Diffеrеnsial ostiga kiritish usulining tatbig‘iga misol ko‘rsating.
   
7. 
   O‘zgaruvchilarni almashtirish usuli nimadan iborat?
   
8. 
   Almashtirma deb nimaga aytiladi?
   
9. 
   Aniqmas integralni o‘zgaruvchilarni almashtirish usulida hisoblashga doir misol keltiring.
   
10. 
    Bo‘laklab integrallash formulasi qanday ko‘rinishda bo‘ladi?
    
11. 
    Bo‘laklab integrallashda qanday hollar bo‘lishi mumkin?
    
12. 
    Qanday ko‘rinishdagi aniqmas integrallarni bo‘laklab integrallash usulida hisoblash mumkin?
    
13. 
    Kvadrat uchhadli I₁ integral qanday ko‘rinishda bo‘ladi?
    
14. 
    Kvadrat uchhadli I₁ integral qanday hisoblanadi?
    
15. 
    Kvadrat uchhad qatnashgan I₂ integral qanday ko‘rinishga ega?
    
16. 
    Kvadrat uchhad qatnashgan I₂ integral qanday hisoblanadi?
    
17. 
    Kvadrat uchhadli I₃ integral qanday hisoblanadi?
    
18. 
    Kvadrat uchhad qatnashgan I₄ integral qanday qilib I₂ integral ko‘rinishiga keltiriladi?
    
19. 
    Kvadrat uchhadli integrallar qanday funksiyalar orqali ifodalanadi?
    

Testlardan namunalar

1. 
   Aniqmas integralni hisoblashning qaysi usuli mavjud emas?
   

A) ko‘paytirish usuli; B) o‘zgaruvchini almashtirish usuli;
C) differensial ostiga kiritish usuli; D) yoyish usuli;
E) bo‘laklab integrallash usuli.

2. 
   integralni yoyish usulida hisoblang.
   

A) ; B) ; C) ;
D) ; E) .

3. 
   aniqmas integralda x=j(t) almashtirma bajarilganda u qanday ko‘rinishga keladi?
   

A) ; B) ; C) ;
D) ; E) to‘g‘ri javob keltirilmagan.

4. 
   integral qaysi almashtirma orqali jadval integraliga keltiriladi?
   

A) t=x² ; B) t=x³ ; C) t=x⁴ ; D) t=x⁵ ; E) t=x⁶ .

5. 
   Qaysi tenglik bo‘laklab integrallash usulini ifodalaydi?
   

A) ; B) ;
C) ; D) ;
E) to‘g‘ri javob keltirilmagan.

6. 
   integralni hisoblash uchun integral ostidagi ifodani qanday bo‘laklash kerak?
   

A) u=x, dv=xlnxdx ; B) u=x², dv=lnxdx ; C) u=lnx, dv=x²dx ;
D) u=xlnx, dv=xdx ; E) u=x²lnx, dv=dx .


Mustaqil ish topshiriqlari

1. 
   aniqmas integralni yoyish usulida hisoblang:
   
2. 
   Ushbu aniqmas integralni invariantlik xossasidan foydalanib hisoblang:
   

;

3. 
   Ushbu aniqmas integralni o‘zgaruvchilarni almashtirish usulida hisoblang:
   

;

4. 
   Ushbu aniqmas integralni bo‘laklab integrallash usulida hisoblang:
   

.


Foydalanilgan adabiyotlar.
1. Azlarov. T., Mansurov. X., Matematik analiz. T.: «O‘zbekiston». 1 t: 2005, 2 t . 1995 
2. Fixtengols G. M. „Kurs differensialnogo i integralnogo ischeleniya“ M.: 1970.
3. Sa’dullayev A. va boshqalar. Matematik analiz kursi misol va masalalar to`plami. T., 
«O‘zbekiston». 1-q. 1993., 2-q. 1995.
4. Demidovich B. P. “Sbornik zadach i uprajneni po matematicheskomu analizu” T.: 1972. 
5. Ilin V. A., Poznyak E. G. “Maematik analiz asoslari” I qism, T.: 1981.