Yunusaliyeva gulnoza abdumutalib qizining

Funksiya limiti ta`riflarining ekvivalentligi.
3-teorema. Funksiya limitining Koshi hamda Geyne ta`riflari ekvivalent ta`riflardir.
◄Koshi ta`rifiga ko`ra soni funksiyaning nuqtadagi limiti bo`lsin:

Unda

bo`lganda
(1)
bo`ladi. nuqta to`plamning limit nuqtasi. Unda 2-teoremaga ko`ra ketma-ketlik topiladiki, da bo`ladi. Ketma-ketlik limiti ta`rifiga binoan
(2)
bo`ladi. (1) va (2) munosabatlardan uchun

bo`lishi kelib chiqadi. Bu esa sonini Geyne ta`rifi bo`yicha funksiyaning nuqtadagi limiti ekanini bildiradi.
Endi soni Geyne ta`rifi bo`yicha funksiyaning nuqtadagi limiti bo`lsin.
Teskarisini faraz qilamiz, ya`ni funksiyaning nuqtadagi limiti Geyne ta`rifi bo`yicha ga teng bo`lsa ham, Koshi ta`rifi bo`yicha limiti bo`lmasin. Unda biror uchun ixtiyoriy son olinganda ham ni qanoatlantiruvchi biror da

bo`ladi.
Nolga intiluvchi musbat sonlar ketma-ketligi { } ni olaylik:


da .
U holda
(3)
bo`ladi. Ammo , da , demak, Geyne ta`rifiga asosan

bo`ladi. Bu (3) ga ziddir. Demak, soni Koshi ta`rifi bo`yicha ham, funksiyaning nuqtadagi limiti bo`ladi. ►
4⁰. Funksiyaning o`ng va chap limitlari. Aytaylik, funksiya to`plamda berilgan, nuqta ning chap limit nuqtasi bo`lib,

bo`lsin.
7-ta`rif. Agar

bo`lsa, son funksiyaning nuqtadagi chap limiti deyiladi va

kabi belgilanadi.
Faraz qilaylik, funksiya to`plamda berilgan, nuqta ning o`ng limit nuqtasi bo`lib,

bo`lsin.
8-ta`rif. Agar

bo`lsa, son funksiyaning nuqtadagi o`ng limiti deyiladi va

kabi belgilanadi.

Masalan,

funksiyaning 0 nuqtadagi o`ng limiti 1, chap limiti -1 bo`ladi.