Z5 ustidagi ko`phad doc

Asosiy qism.

1-BOB. Cheksiz maydon ustidagi ko‘phadlar.

1. 
   § Halqa ustidagi ko‘phad tushunchasi.
   

^K - ^ halqa bo‘lsin

Ta'rif:

а  а х  а х²  ...  а xⁿ
0

1

2

n

(1)

ko‘rinishdagi ifodaga ^x o‘zgaruvchili ko‘phad deyiladi, bu yerda

n  

nomanfiy butun son,

a₀ , a₁ , a ₂ ,, a_n
lar ^K halqaning elementlari bo‘lib ular

ko‘phadning koeffitsiyentlari deyiladi.

1. 
   ifodaning koeffitsiyentlari ^K halqadan olingan bo‘lsa ko‘phadni ^K
   

halqa ustidagi ko‘phad deyiladi.

Masalan:

1 - х ²  4х ³ - 3х ⁴ ,

- 2  3х - 5х ³  7х ⁵

lar

butun sonlar halqasi ^Z ustidagi ko‘phadlardir.

3  2х 

x ² , 1 

5х ²  9х⁹
, bularesa haqiqiy sonlar halqasi ^R ustidagi

ko‘phadlardir.

Shuni ta'kidlash kerakki (1) ifoda bir butun yaxlit belgi sifatida qaraladi. Ya'ni hech qanday qo‘shish yoki ko‘paytirish amallari uning alohida qismlari

uchun bajarilmaydi. ^K halqaning ^ak

elementi

(k  0,1,2,, n)

(1)

ko‘phadning ^хk

oldidagi koeffitsiyenti deyiladi,

k  n

bo‘lgan holda ^xk

oldidagi koeffitsiyent nolga teng deb hisoblanadi. Ko‘phadlar belgilanadi.

f (x), g(x),... _kabi

Ta'rif. Agar

f₁ (x)

ko‘phadning barcha koeffitsiyentlari

f₂ (x)

ko‘phadning

barcha koeffitsiyentlariga mos ravishda teng bo‘lsa, ya'ni

f₁ (x)  a₀
m

• 
  a₁ x  a₂
  1
  
  2
  
  

n

x²  ...  a x
n

f (x)  b
2

0

• 
  b x  b x ²  ...  b x^m
  

(3) bo‘lib,

bu yerdagi

a₀ , a₁ ,, a_n  

_, b₀ , b₁ ,, b_m   а_  b_  а_  b_  а_  b_ 

 а_i

 b_i ...,

bo‘lsa, u holda yoziladi.

f₁ (x) _va

f₂ (x)

ko‘phadlar teng deyiladi va

f₁ (x) _q

f₂ (x)

kabi

2. 
   va (3) formulalar orqali berilgan
   

f₁ (x) _va

f₂ (x)

ko‘phadlar uchun

ularning yig‘indisi, ayirmasi va ko‘paytmasini quyidagicha aniqlanadi:
k

k

1. 
   ^f1
   0
   
   1
   
   2
   
   k
   
   0
   
   1
   
   2
   
   k
   
   

(x)  f ₂

10. 
     (a₀
    

 b₀

)  (a₁

 b₁ )x  (a₂

 b₂

)x ²  ...  (a

 b_k )x

(4)

_b) f (x)  f
1

2

(x)  (a

 b )  (a

• 
  b ) x  (a
  

 b )x ²  ...  (a

• 
  b ) x ^k
  

(5)

bu yerda

k  мах{n, m}

m  n

bo‘lganda ^{am  0}

_va n  m

bo‘lganda

b_n  0

deb

hisoblanadi.

Masalan:

(2 - x  3x²  5x ⁴ )  (1 - x²  x³ - 7x⁴ ) 

 (2  1)  (-1 0)x  (3 -1)x²  (0  1)x³  (5  7)x⁴  3 - x  2x²  x³  2x ⁴

_v) f₁ (x) _va

f₂ (x)

ko‘phadlarning ko‘paytmasi barcha tuzish mumkin bo‘lgan

^{u v} ko‘rinishdagi ko‘paytmalarning yig‘indisiga teng bo‘ladi, bu yerda ^u -

f₁ (x)

ko‘phadning, ^v esa

f₂ (x)

ko‘phadning ^ hadi. O‘xshash hadlarni

ixchamlagandan so‘ng quyidagi ko‘phad hosil bo‘ladi:

f (x)  f

(x)  c

 c x  c x²  .  c

_xn  m
(6)

1 2
bu yerda

0 1 2

n  m

с x ^k  a  b x ^k  a x  b x ^k-1  a x ²  b x ^k-2  ...  a x ^k  b 
k 0 k 1 k-1 2 k-2 k 0

bundan,

 (a₀ b_k

• 
  a₁b
  

k-1

 a₂ b

k-2

 ...  a_k b₀

)x ^k

с_k  а₀ а_k  а₁ а_k-1  a₂ b_{k -2}    a_k b₀
(7)

(bu yerda yuqoridagi kabi ^{l  n}

bo‘lganda

a_l  0 l  m

bo‘lganda

b_l  0

deb hisoblanadi.

Masalan:

(2 - 3х  х³  2х ⁴)(-1 3х  2х ² )  -2  9х - 5х ² - 7х³  х ⁴  8х⁵  4х⁶

Xususiy holda, ^х4 oldidagi koeffitsiyent (7) formula bo‘yicha

quyidagicha hisoblab topiladi:

2·0  (-3)·0 0·2  1·3 2·(-1)  1

Qo‘shish va ko‘paytirishning bunday aniqlash ko‘phadlarning tengligi

ta'rifiga mos keladi. Ya'ni agar

f₁ (x) _q

f₂ (x)

_va g_  x

_ g_  x

bo‘lsa, u holda

Izox:

f₁(x)  g_ x  f_  x  g_  x ва

f_ x  g_  x  g_  x  f_  x

bo‘ladi.

1. 
   Ko‘phadning ifodasidagi ^x harfining o‘rnida ^ boshqa harf bo‘lishi mumkin. Agar ko‘phadning berilishida bu qaysi harf ekani ma'lum bo‘lsa, u
   

holda ko‘phadning belgilanishini qisqartirib, mumkin.

f , g...

ko‘rinishda yozish

2. 
   Ko‘phadning (1) ko‘rinishida berilishidan ko‘rdikki, ko‘phad mavjud bo‘lishi uchun uning koeffitsiyentlari berilishi kerak ekan. Bu koeffitsiyentlarni
   

^K halqaning qandaydir elementlari ketma-ketligi

a₀ , a₁ ,, a_n  K

o‘rinishida

ifodalash mumkin. Unga mos holda qo‘shish va ko‘paytirish amallarini bunday ketma-ketliklar ustida aniqlasak, ko‘phadni qisqaroq yozuvda ya'ni ketma-ketlik ko‘rinishida ifodalash mumkin bo‘ladi.

Ko‘phadlarni qo‘shish va ko‘paytirish quyidagi xossalarga ega:

1⁰ . Qo‘shishning kommutativligi

f₁ (x) _va

f₂ (x)

ko‘phadlar (2) va (3)

formulalar orqali berilgan bo‘lsin. U holda ta'rifga ko‘ra

f₁ (x)  f ₂
k

(x)  (a₀

 b₀

)  (a₁

 b₁ )x  (a₂

 b₂

)x ²    (a

 b _k

)x ^k

f₂ (x)  f₁
k

(x)  (b₀

 a₀

)  (b₁

 a₁ )х  (b₂

 a₂

)х ²    (b

 a_k

)x ^k

bu yerda

k  max{n, m}

bo‘ladi. ^K halqada qo‘shish ya'ni

p  0,1,2,...k

bo‘lganda

a_p  b _p  b _p  a _p
bo‘lagani uchun

f₁(x)  f₂ (x)

 f₂ (x)  f₁ (x)

bo‘ladi.

2⁰. Qo‘shishning assotsiativligi

f₁ (x) _, f₂ (x) _, ^f3(x)

ko‘phadlar uchun

( f₁ (x)  f₂ (x))  f₃ (x)  ( f₁ (x)  f₂ (x))  f₃ (x))

tenglikning bajarilishini ^K halqada qo‘shishning assotsiativligidan foydalanib, osongina tekshirib ko‘rish mumkin.

3⁰ . Nolning mavjudligi. Barcha koeffitsiyentlari nolga teng bo‘lgan

ko‘phad nol ko‘phad deyiladi va 0 bilan belgilanadi.

Bu ko‘phad nol element (qo‘shishga nisbatan neytral element) vazifasini bajaradi.

Ko‘phadlarni qo‘shish amalining ta'rifiga ko‘ra

 f (x)

ko‘phad

uchun

f (x)  0 

f (x)

ekanligi tushunarli.

4⁰. Qarama-qarshi elementning mavjudligi.

f (x)

ko‘phaddagi barcha

koeffitsientlarni mos ravishda ularning qarama-qarshi lari bilan almashtirishdan

xosil qilingan ko‘phadni – ^{f (x)}

ya'ni

kabi belgilanadi. Ravshanki

f (x)

₊ ( f (x))  0

_– f (x)

ko‘phad

f (x)

ko‘phad uchun qarama-qarshi ko‘phaddir.

5⁰. Ko‘paytirishning qo‘shishga nisbatan distributivligi.

3 ta ko‘phad berilgan bo‘lsin.

f₁ (x)  a₀

 a₁ x  a₂

x ²  ...  a x ⁿ

f (x)  b  b x  b x ²  ...  b x ⁿ
2 0 1 2 n

n

n

f₃ (x)  с₀

 с₁ x  с₂

x ²  ...  с x ⁿ

( f₁ (x)  f₂ ( x)) f₃ (x) 

ekanini isbotlaymiz.

f₁( x) f₃ ( x)  g₂ (x)g₃ (x)

(8)

f₁ (x)  f₂ (x)

ko‘phad (4) formula orqali berilgan ko‘phadlarni ko‘paytirish

amalining ta'rifiga ko‘ra

( f (x)  f (x)) f

(x)  d d x  d

x²  ...  d

_x p  e

bu yerda

1 2 3

0 1 2

p e

d _k  (a₀  b ₀ )c_k  (a₁  b₁ )c_{k 1}  ...  (a_k  b _k )c₀

^K halqada distributivlikning o‘rinliligidan foydalanib ^dk ni ko‘rinishida ifodalashimiz mumkin bunda
k k


_d I _{ d} II

yig‘indi

d ^I  a c

 a c

 a c  ...  a c

k 0 k

1 k 1

2 k 2 k 0

_k  b ₀ c_k  b₁ c_{k 1}  b ₂ c_{k 2}  ...  b _k c₀
II

d

d ^I  f 1( x) f 1(x)
k

ko‘phaddagi

^xk oldidagi koeffitsiyent ekanligi kelib chiqadi.

Bundan (8) tenglikning o‘rinliligi kelib chiqadi xuddi shu mulohazalardan foydalanib 2- distributivlik

f₃ (x)( f₁(x)  f₂ (x)) 

ham isbotlandi.

f₃ ( x)  f₁(x)  f₃ (x)  f₂ ( x)

1⁰-5⁰ xossalardan ko‘ramizki, koeffitsiyentlari ^K halqadan olingan ko‘phadlar to‘plamining o‘zi ham ko‘phadlar ustida aniqlangan qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil qiladi.

Bu halqa ^K halqa ustidagi ( ^x o‘zgaruvchili) ko‘phadlar halqasi deyilib,

K[x]

kabi belgilanadi. Barcha halqalardagi kabi ko‘phadlar halqasida ham

qo‘shish amaliga teskari amal ayirish amali aniqlangan. Kelgusida biz amalning halqa aksiomalaridan kelib chiqadigan asosiy sodda xossalarini ko‘rsatamiz. (2) va (3) ko‘rinishda berilgan ko‘phadlarning ayirmasi (5) formula yordamida topiladi. Bu tenglikning o‘rinli ekanligini ayrimani

f₁ (x)  f₁ (x)  f₂ ( x)  f₁ (x)  ( f₂ (x))

ko‘rinishda ifodalasa osongina isbotlanadi.

^x ni o‘z ichiga olmagan ko‘phadlar, ya'ni (1) ifodada

n  0

bo‘lgan holda

^K halqaning elementlari bo‘ladi. Ulardagi qo‘shish va ko‘paytirish amali,

ta'rifdan ko‘rinadiki ^K halqada bajariladi. Boshqacha aytganda, ^K halqa halqaning qism halqasi bo‘ladi.
2

n


K[x]

1. 
   Ifodadagi
   

a₀ ,

a₁ x,

a₂ x ,

. . . ,

a x ⁿ

qo‘shiluvchilar ko‘phadning

hadlari deyiladi. Xususan,

a₀ 

ozod had deyiladi. Odatda (yozuvni soda bo‘lishi

uchun)ko‘phadning yozuvida koeffitsiyenti nolga teng bo‘lgan hadlar tashlab yuboriladi.

Masalan:

6  0  x  3x²  4x³  0  x⁴

ko‘phad

6  3x²  4x³

kabi yoziladi.

ax^k

ko‘rinishidagi ko‘phad bir had deyiladi.

Ko‘phadlarning yig‘indisi ta'rifiga ko‘ra (1) ko‘phadni

a₀ ,

a₁ x,

a x ² ,

..., a x ^m

birhadlarning yig‘indisi deb qarasak, ko‘phadning yozuvidagi «+» belgini qo‘shish amali deb qarash mumkin bo‘ladi.

2

n

(a)x^k

ax^k

birhadga qarama-qarshi birhad deyiladi. Shuning uchun

qandaydir ko‘phadga

(a)x^k

birhadni qo‘shish deganda ko‘phaddan

ax^k

birhadni

ayirish tushuniladi. Bu «-» ni ko‘phadlarni ayirish sifatida qarab ^{ (a)x}k

o‘rniga - ^axk

Masalan:

ni yozish imkonini beradi.

1  (3)x  2x²

ko‘phad o‘rniga

1  3x  2x²

ko‘phadni yozish mumkin.

Endi ^K halqa birlik elementga ega bo‘lsin deb faraz qilamiz. ko‘phadni qaraymiz. Ko‘phadlarni ko‘paytirish formulasiga ko‘ra,

( p( x))²  p(x) p( x)  1x ²

( p( x))³  ( p(x))² p(x)  1x³

p(x)  1x

va xokozolarga ega bo‘lamiz. Umuman,

( p( x))^k

 ( p(x)) ^k1 p(x)  1x ^k

bo‘ladi .

^{K x} halqada ^1xk

ko‘phadni ^a elementga ko‘paytirsak,

a  ( p(x))^k

 ax ^k

hosil bo‘ladi. Odatda

( p(x))^k

ifodani

p ^k (x)

kabi belgilash

ishlatiladi.

Nihoyat, bir nechta xuddi shunday tengliklarni qo‘shish natijasida

a₀ , a₁ , a₂ ,..., a_n  K x

a  a p(x)  a ( p(x))²  ...  a ( p(x))ⁿ  a  a x  a x ²  ...  a x ⁿ
0 1 2 n 0 1 2 n

ga ega bo‘lamiz.

Bu tenglik qanday ma'noni anglatadi?

Uning chap tomoni ko‘phadning ta'rifiga ko‘ra ko‘phadning ifodasini bildiradi,

o‘ng tomonida esa

a₀ , a₁ , a₂ ,..., a_n

elementlar va

K x

halqaning

p(x)

elementlari o‘rtasida bu halqadagi qo‘shish va ko‘paytirish amali bajarildi.

Shuning uchun ^K halqada birlik element mavjud bo‘lsa biz

p(x)

deb

belgilagan ko‘phadni ^x harfi orqali ifodalab ko‘phadning formal ifodasiga mazmun berdik.

Ko‘phad haqidagi dastlabki ma'lumotlarning yakunida ko‘phadning darajasi tushunchasini va unga bog‘liq bo‘lgan boshqa bir nechta tushunchalarni kiritamiz.