Задача для трехмерного сингулярного эллиптического уравнения

5. Единственность и существование решения смешанной задачи
Единственность решения смешанной задачи непосредственно следует из формулы (10).
Существование решения поставленной задачи докажем методом функции Грина.
Назовем функцией Грина смешанной задачи для уравнения (4), если выполняются следующие условия:
эта функция является регулярным решением уравнения (4) в поле D, за исключением точки , которая является любой неподвижной точкой D,
(ii) она удовлетворяет граничным условиям:

может быть выражено как:

где

— фундаментальное решение уравнения, — регулярное решение уравнения (4) в области D;

Построение функции Грина сводится к нахождению ее регулярной части , которая должна удовлетворять граничным условиям

.
Для сферы , ограниченной окружностью в плоскости и полусферой , функция Грина задачи Дирихле для уравнения (4), в силу условия (6), выражается формулой:
(12)
где

Далее, следуя работе [4, гл.2] нетрудно получить решение смешанной задачи в явном виде:


(13)
где . Здесь — функция Грина смешанной задачи для уравнения (4), определенная формулой (12).
Таким образом, доказана следующая
Теорема. Единственное решение смешанной задачи для уравнения (4) представляется формулой (13).


Литература
[1] S. Gellerstedt, Sur un probleme aus limites pour l'equation Arkiv Mat., Ast. och Fysik, 1935, 25A(10), pp. 1-12.
[2] A. Huber, On the uniqueness of generalized
axisymmetric potentials. Ann. Math, 1954, 60, pp. 351--358.
[3] R.P.Gilbert, Composition Formulas in Generalized Axially
Symmetric Potential Theory. J. Math. Mech., 1964, 13, pp.577—588.
[4] M.M.Смирнов, Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966.
[5] H.M. Srivastava, A.Hasanov and J.Choi, Double-layer potentials
for a generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation, Sohag Journal of Mathematics, 2015, 2(1), pp. 1--10.
[6] Berdyshev A.S., Hasanov A., Ergashev T.G. Double-Layer Potentials for a generalized Bi-Axially Symmetric Helmholtz Equation.II. Complex Variables and Elliptic Equations. 2020,Volume 65, Issue 2. P.316-332. https://doi.org/10.1080/17476933.2019.1583219
[7] Эргашев Т.Г. Третий потенциал двойного слоя для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца//Уфимский математический журнал, 2018, том 10, выпуск 4, 111-122.
[8] Эргашев Т.Г. Четвертый потенциал двойного слоя для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца//Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2017, № 50, 45-56. DOI 10.17223/19988621/50/4
[9] Ergashev T.G. Fundamental solutions of the generalized Helmholtz equation with several singular coefficients and confluent hypergeometric functions of many variables //Lobachevskii Journal of Mathematics, 2020, Vol. 41, №1. Pages 15-26. DOI: 10.1134/S1995080220010047
[10] Уринов А.К. Фундаментальные решения для некоторых уравнений эллиптического типа с сингулярными коэффициентами// Научный вестник Ферганского госуниверситета. 2006, 1, С. 5-11.
[11] Салахитдинов М.С., Хасанов А. К теории многомерного уравнения Геллерстедта. // Узбекский математический журнал, 2007, 3, с. 95 - 109.
[12] Hasanov A. Fundamental solutions bi-axially symmetric Helmholtz equation// Complex Variables and Elliptic Equations. 2007, v. 52, No. 8. P. 673 - 683.
[13] Hasanov A., Karimov E.T. Fundamental solutions for a class of three-dimensional elliptic equations with singular coefficients//Appl. Math. Lett. 2009, No.22. P.1828-1832.
[14] Urinov A.K., Karimov E.T., On fundamental solutions for 3D singular elliptic equations with a parameter// Applied Mathematics Letters, 2011, 24, 314-319.
[15] Mavlyaviev R.M., Garipov I.B. Fundamental solution of multidimensional axisymmetric Helmholtz equation//Complex variables and elliptic equations, 2016, No.62. P.287-296.
[16] Ergashev T.G., Hasanov A. Fundamental solutions of the bi-axially symmetric Helmholtz equation//Uzbek Mathematical Journal. Tashkent, 2018. № 1. C. 55 - 64.
[17] Уринов А.К., Эргашев Т.Г. Конфлюэнтные гипергеометрические функции многих переменных и их применение к нахождению фундаментальных решений обобщенного уравнения Гельмгольца с сингулярными коэффициентами //Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2018. № 55. C. 45 - 56.
[18] Ergashev T.G. On fundamental solutions for multidimensional Helmholtz equation with three singular coefficients //Computers and Mathematics with Applications. – Elsevier, 2019. V. 77. Issue 1. pp. 69 - 76.
[19] Ergashev T.G. Fundamental Solutions for a Class of Multidimensional Elliptic Equations with Several Singular Coefficients//Journal of Siberian Federal University. Mathematics and Physics. 2020. V.13, No. 1. pp. 48 - 57.
[20] Hasanov A., Ruzhansky M. Hypergeometric expansions of solutions of the degenerating model parabolic equations of the third order. Lobachevskii Journal of Mathematics, 2020, Vol. 41, №1. Pages 27-31.
[21] Ergashev T.G. The Dirichlet problem for with several singular coefficients. Electronic Journal of Analysis and Applied Mathematics, 2018, № 1, р.81 - 99.
[22] Ergashev T. G., Hasanov A. Holmgren problem for elliptic equation with singular coefficients. Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2020, № 32:3, Р.159 - 175.
[23] Эргашев Т.Г. Обобщенная задача Хольмгрена для эллиптического уравнения с несколькими сингулярными коэффициентами //Дифференциальные уравнения. 2020. Т.56. № 7. С.872-886. DOI: 10.1134/S0374064120070043.
[24] Ergashev T.G. Potentials for three-dimensional singular elliptic equation and their application//Lobachevskii Journal of Mathematics, 2020, Vol. 41, №6. Pages 1067-1077. DOI: 10.1134/S1995080220060086