Задача линейного программирования без учета целочисленности

x₃ = x₃⁺ - x₃^-, где x₃⁺, x₃^- ≥ 0.

Схема формирования двойственных задач ЛП. Как следует из приведенной схемы при переходе от прямой задачи ЛП к двойственной: 1. Тип оптимума меняется на противоположный, т. е. максимум на минимум, и наоборот. 2. Вектор коэффициентов целевой функции c и столбец ограничений b меняются местами. 3. Матрица ограничений задачи А транспонируется. 4. Множество индексов переменных, на которые наложено условие неотрицательности в прямой задаче (например, хj≥0 или ui≥0), определяют номера ограничений, имеющих форму неравенств в двойственной задаче (а^jи≥сj или aix≤bi). 5. Множество номеров ограничений, имеющих форму неравенств в прямой задаче (например, aix≤bi или а^jи≥сj), определяют множество индексов переменных, на которые накладывается условие неотрицательности, в двойственной задаче (ui≥0 или хj≥0). Из приведенного определения вытекает важное свойство — симметричность отношения двойственности, т. е. задача, двойственная по отношению к двойственной, со­впадает с прямой (исходной) задачей: ((D*)*, (f*)*)≡(D, f),

Условие не существования решения задачи в двойственном симплекс методе если в прямой задаче некоторый коэффициент отрицателен в индексной строке, то соответствующее ограничение в двойственной задаче выполняется как строгое неравенство: ▪ , то есть, когда решение прямой задачи неоптимально, то решение двойственной задачи – недопустимо

Каково условие оптимальности решения в двоисвенном симплекс методе? Алгоритм двойственного симплекс-метода основан на соотношениях между прямой и обратной ЗЛП. Ранее было показано, что при решении прямой задачи на максимум условием оптимальности (или критерием остановки вычислительного процесса) является наличие неотрицательных коэффициентов в индексной строке симплекс-таблицы.

Постановка задач целочисленного программирования Под задачей целочисленного программирования (ЦП) понимается задача, в которой все или некоторые переменные должны принимать целые значения. В том случае, когда ограничения и целевая функция задачи представляют собой линейные зависимости, задачу называют целочисленной задачей линейного программирования. В противном случае, когда хотя бы одна зависимость будет нелинейной, это будет целочисленной задачей нелинейного программирования. Как уже отмечалось, часто задачу ЦП решают без учета условий целочисленности переменных, а затем округляют полученное решение с избытком или недостатком. Это не гарантирует получение оптимального целочисленного решения задачи. Поэтому для нахождения оптимального решения целочисленных задач применяют специальные методы, в которых учитывается, что число возможных решений любой целочисленной задачи является конечным. Следовательно, можно рассмотреть все возможные сочетания целочисленных переменных и проверить, удовлетворяют ли они ограничениям, и из числа удовлетворяющих ограничениям, выбрать наилучшее с точки зрения целевой функции. Такой метод называют методом полного перебора. Его трудоемкость с ростом числа переменных и расширением области граничных условий значительно возрастает. Поэтому для реальных задач он неприменим.

Типы задач целочисленного программирования

Геометрическая интерпретация задачи целочисленного программирования Такие задачи геометрически решаются по следующей схеме: 1. Построить многоугольник решений системы (7.1). 2. В многоугольнике решений, полученном в п.1, отметить точки с целочисленными координатами. Получается область допустимых решений (ОДР) задачи (7.2). 3. Построить линии уровня c1x1+c2x2=a целевой функции задачи. 4. В ОДР задачи (7.2), полученной в п.2, выбрать точку, в которой достигается требуемый экстремум. 5. Вычислить значение функции в найденной точке экстремума.

Примерами задачи целочисленного программирования?