Zahiriddin muhammad bobur nomli andijon davlat universiteti fizika matematika fakulteti
Download 224.8 Kb.
|
Kurs ishi Risliqoy
|
Kantor teoremasi.(X,) metrik fazoda uning biror M qism to‘plami vaf funksional berilgan bo‘lsin.
3-ta’rif. Agar ixtiyoriy >0 uchun shunday >0 topilsaki, (x1,x2)< shartni qanoatlantiruvchi har qanday x1,x2M uchun ushbu tengsizlik bajarilsa, u holda f funksional M to‘plamda tekis uzluksiz deyiladi. M to‘plamda tekis uzluksiz funksionalning shu to‘plamda uzluksiz bo‘lishini ko‘rish qiyin emas. Haqiqatan, aytaylik x0 nuqta M to‘plamga tegishli bo‘lsin. Hadlari M to‘plamga tegishli bo‘lib, x0 nuqtaga yaqinlashuvchi biror {xn} ketma-ketlikni tuzib olamiz. U holda, ixtiyoriy >0 uchun shunday >0 topiladiki, etarlicha katta n larda (xn,x0)< tengsizlikning bajarilishidan |f(xn)–f(x0)|< tengsizlikning bajarilishi kelib chiqadi. Demak, x0 nuqtaga yaqinlashuvchi ixtiyoriy {xn} ketma-ketlik uchun {f(xn)} sonli ketma-ketlik f(x0) ga yaqinlashadi. Bu esa f funksionalning x0 nuqtada uzluksiz ekanligini bildiradi. Tanlashimizga ko‘rax0 nuqta M to‘plamning ixtiyoriy nuqtasi bo‘lganligi sababli, f funksional M to‘plamda uzluksiz bo‘ladi. Quyidagi teorema funksional tekis uzluksizligining etarli shartini ifodalaydi. 3-teorema (Kantor). Agar X metrik fazodagi f funksional M kompakt to‘plamda uzluksiz bo‘lsa, u holda f funksional shu to‘plamda tekis uzluksiz bo‘ladi. Isboti.f funksional M to‘plamda uzluksiz, lekin tekis uzluksiz bo‘lmasin deb faraz qilamiz. U holda, musbat son uchun, M to‘plamning (x1,x1’)<1, |f(x1)–f(x1’)| shartlarni qanoatlantiruvchi x1 va x1’ nuqtalarini tanlab olish mumkin. SHunga o‘xshash M to‘plamning (x2,x2’)<1/2, |f(x2)–f(x2’)| shartlarni qanoatlantiruvchi M to‘plamning x2 va x2’ nuqtalar juftini tanlaymiz. SHu kabi, (xn,xn’)<1/n, |f(xn)–f(xn’)| shartlarni qanoatlantiruvchi nuqtalar juftini tanlash cheksiz davom ettirilib, {xn} va {xn’} nuqtalar ketma-ketligiga ega bo‘lamiz. Kompakt M to‘plamning nuqtalaridan tuzilgan {xn} ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi { } qism ketma-ketlik ajratib olish mumkin. Bu qism ketma-ketlikning limiti x0Mbo‘lsin. Ikkinchi ketma-ketlikning shu nomerlarga mos hadlaridan tuzilgan { ’} qism ketma-ketlik ham x0 nuqtaga yaqinlashadi. Endi | f(xn)–f(xn’)| | f(xn)–f(x0)|+ | f(x0)–f(xn’)| bo‘lganligi sababli o‘ng tomondagi qo‘shiluvchilarning kamida biri n ga boQliq bo‘lmagan holda /2 dan kichik bo‘la olmaydi. Bu esa funksionalning uzluksizligiga zid. Teorema isbot bo‘ldi. Xulosa.. Chiziqli operatorning spektri va rezolventasi mavzusida ko'rsatildiki, chekli o'lchamli fazolarda aniqlangan A chiziqli operatoming spektri chekli sondagi xos qiymatlardan iborat. Chekli o'lchamii fazolarda aniqlangan chiziqii operatorlardan farqli o'laroq, cheksiz o'lchamii fazolardagi ixtiyoriy chiziqli operatorning spektrini to‘la o'rganish ancha qiyin masaladir. Lekin ba'zi bir sinf operatoriarining spektrini biz to’laroq o‘rganishimiz mumkin.Operatoriarning bunday sinfi kompakt operatorlar deb nomlangan. Bu sinf operatorlari o'zining xossalari bo'yicha chekli o’lchamli operatorlarga o‘xshab ketadi va ularning spektri yetarlicha aniq izohlanadi. Shunday qilib bu kurs ishi kompakt operatorlar, ularning muhim sinfi integral operatorlar va infcegral tenglamalarni yechish usnllariga bag'ishlandi. Bunda biz kompaktoperatorlar va integral tenglamalarning asosiy xossalarini o‘rgandik.Banax va Hilbert fazolaridagi kompakt operatorlarning muhim xossalari ochib berildi. X Banax fazosini Y Banax fazosiga akslantiruvchi kompakt operatorlar to'plami —K ( X ,Y ) ning to‘la normalangan fazo bo'lishi isbotlangan. Kompakt operatorga qo'shma operatoming kompaktligi isbotlangan. Agar {A„} kompakt operatorlar ketma-ketligi A operatorga norma bo'yicha yaqinlashsa, u holda limitik operator A ning kompaktligi ko‘rsatilgan. Paragraf oxirida Banax fazolarida aniqlangan kompakt operatorlar xossalari Hilbert fazosidagi o‘z-o‘ziga qo'shma kompakt operatorlarga taalluqli bo'lgan ayrim faktlar bilan to'ldirilgan. Xususan, bunday operatorlar udiun diiziqli algebra. kursidanma'lum bolgan matritsalarni diagonal ko'rinishga keltirish haqiaagi teoremaga o‘xshash Hilbert-Shmidt teoremasi isbotlangan.. Download 224.8 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|