Закон Кулона. Характеристики неточечных зарядов. Электри́ческий заря́д

4.Поток напряженности электрического поля. Теорема Остроградского-Гаусса. Примеры применения теоремы Гаусса для расчета электрических полей.
поток Φ вектора напряженности электрического поля. Понятие потока вектора  аналогично понятию потока вектора скорости  при течении несжимаемой жидкости. Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая достаточно малая площадка ΔS. Произведение модуля вектора  на площадь ΔS и на косинус угла α между вектором  и нормалью  к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку ΔS (рис. 4.3.1):

ΔΦ = EΔS cos α = EnΔS,

где  – модуль нормальной составляющей поля 

1

Для вывода теоремы Остроградского–Гаусса необходимо ввести такие важные вспомогательные понятия, как вектор электрической индукции  и поток этого вектора Ф.
Известно, что электростатическое поле часто изображают при помощи силовых линий. Предположим, что мы определяем напряжённость в точке, лежащей на границе раздела двух сред: воздуха( =1) и воды ( =81). В этой точке при переходе из воздуха в воду напряжённость электрического поля согласно формуле  уменьшится в 81 раз. Если пренебречь проводимостью воды, то во столько же раз уменьшится число силовых линий. При решении различных задач на расчёт полей из-за прерывности вектора напряжённости  на границе раздела сред и на диэлектриках создаются определённые неудобства. Чтобы избежать их, вводится новый вектор  , который называется вектором электрической индукции: 
Вектор электрической индукции равен произведению вектора  на электрическую постоянную  и на диэлектрическую проницаемость среды в данной точке .
Очевидно, что при переходе через границу двух диэлектриков число линий электрической индукции не изменяется для поля точечного заряда 
1. Напряженность электростатического поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью.
Пусть сферическая поверхность радиуса R (рис. 13.7) несет на себе равномерно распределенный заряд q, т.е. поверхностная плотность  заряда в любой точке сферы будет одинакова.

1. 
   Заключим нашу сферическую поверхность в симметричную поверхность S с радиусом r>R. Поток вектора напряженности через поверхность S будет равен
   

По теореме Гаусса

Следовательно

(13.8)

2. 
   Для точек, находящихся на поверхности заряженной сферы радиуса R, по аналогии с вышеприведенным уравнением, можно написать
   

(13.9)

2. Электростатическое поле шара.
Пусть имеем шар радиуса R, равномерно заряженный с объемной плотностью . 

В любой точке А, лежащей вне шара на расстоянии r от его центра (r>R), его поле аналогично полю точечного заряда  , расположенного в центре шара. Тогда вне шара

(13.10)

а на его поверхности (r=R)

(13.11)

В точке В, лежащей внутри шара на расстояний r от его центра (r>R), поле определяется лишь зарядом  , заключенным внутри сферы радиусом r. Поток вектора напряженности через эту сферу равен

с другой стороны, в соответствии с теоремой Гаусса

Из сопоставления последних выражений следует

(13.12)

где - диэлектрическая проницаемость внутри шара.
3. Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной прямолинейной нити (или цилиндра).
Предположим, что полая цилиндрическая поверхность радиуса R заряжена с постоянной линейной плотностью  .

Проведем коаксиальную цилиндрическую поверхность радиуса  Поток вектора напряженности через эту поверхность

По теореме Гаусса

Из последних двух выражений определяем напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной нитью:

(13.13)

4. Напряженность поля, создаваемого, бесконечной равномерно заряженной плоскостью.

(13.14)

5. Работа сил электростатического поля по перемещению точечного заряда. Потенциальность электрического поля. Циркуляция напряженности. Выражение работы через разность потенциалов и потенциала через работу.