Закон распре-деления числа отказавших элементов за время t

Устройство состоит из 4-х независимо работающих элементов. Веро¬ятность отказа каждого элемента за время t равна 0,3. Составить закон распре-деления числа отказавших элементов за время t.

Здесь мы имеем дело с биномиальным распределением, так как у нас есть серия независимых испытаний (работа каждого элемента) с двумя возможными исходами (отказ или работоспособность) и постоянной вероятностью успеха (вероятность отказа каждого элемента).

Пусть случайная величина X обозначает количество отказавших элементов за время t. Вероятность отказа каждого элемента за время t равна 0,3, поэтому вероятность успеха (работоспособности) каждого элемента равна 1 - 0,3 = 0,7.
Таким образом, вероятность того, что X примет значение k (где k - целое число от 0 до 4) можно выразить следующим образом, используя формулу биномиального распределения:
P(X = k) = C(4, k) * p^k * (1 - p)^(4 - k)
где C(4, k) - число сочетаний из 4 элементов по k элементов, p - вероятность успеха (работоспособности) каждого элемента (0,7), и (1 - p) - вероятность отказа каждого элемента (0,3).
Таким образом, закон распределения числа отказавших элементов X за время t будет выглядеть следующим образом:
P(X = 0) = C(4, 0) * 0,7^0 * 0,3^4 P(X = 1) = C(4, 1) * 0,7^1 * 0,3^3 P(X = 2) = C(4, 2) * 0,7^2 * 0,3^2 P(X = 3) = C(4, 3) * 0,7^3 * 0,3^1 P(X = 4) = C(4, 4) * 0,7^4 * 0,3^0
где C(4, 0), C(4, 1), C(4, 2), C(4, 3), C(4, 4) - сочетания из 4 элементов по 0, 1, 2, 3, 4 элементов соответственно.

Используя формулу для числа сочетаний C(n, k), где n - количество элементов, и k - количество элементов, которые нужно выбрать, можем записать закон распределения числа отказавших элементов X за время t следующим образом:

P(X = 0) = C(4, 0) * 0,7^0 * 0,3^4 P(X = 1) = C(4, 1) * 0,7^1 * 0,3^3 P(X = 2) = C(4, 2) * 0,7^2 * 0,3^2 P(X = 3) = C(4, 3) * 0,7^3 * 0,3^1 P(X = 4) = C(4, 4) * 0,7^4 * 0,3^0
где C(4, 0) = 1, C(4, 1) = 4, C(4, 2) = 6, C(4, 3) = 4, C(4, 4) = 1, так как сочетание из 4 элементов по 0, 1, 2, 3, 4 элементов соответственно равно 1, 4, 6, 4, 1 соответственно.
Таким образом, закон распределения числа отказавших элементов X за время t будет выглядеть следующим образом:
P(X = 0) = 1 * 0,7^0 * 0,3^4 = 0,3^4 P(X = 1) = 4 * 0,7^1 * 0,3^3 = 4 * 0,7 * 0,3^3 P(X = 2) = 6 * 0,7^2 * 0,3^2 = 6 * 0,7^2 * 0,3^2 P(X = 3) = 4 * 0,7^3 * 0,3^1 = 4 * 0,7^3 * 0,3 P(X = 4) = 1 * 0,7^4 * 0,3^0 = 0,7^4
Данный закон распределения описывает вероятности возможных значений количества отказавших элементов X за время t в системе с 4 независимо работающими элементами, каждый из которых имеет вероятность отказа 0,3.