Zaxirani boshqarish masalasi

Kuchlanishni taqsimlash modeli

Kuchlanishni taqsimlash modelini o'zida aks ettirgan quyidagi e’tiborli misolni ko'rib chiqamiz. Korxona zaxiradagi (to'planib qolgan) N dona mahsulotini s ta savdo shaxobchasiga taqsimlash kerak bo'lsin. Agar j — savdo shaxobchasiga y} dona mahsulot jo'natilsa, bundan keladigan foyda Rj{yj) so'mni tashkil etsin. Yana shu narsa ma’lumki, hamma mahsulotni bitta savdo slmxobchasiga jo'natish maqsadga rnuvofiq emas. Bu masalaning modeli quyidagicha ifodalash mumkin:

Dinamik dasturlash usulini qo'llash uchun, quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
gj(n) — n ta mahsulotni 1,2,..., j shaxobchalarga optimal qilib tarqatganda kelgan foydani bildirsin.
yj(n) — g.j(n) foyda olish uchun, j — savdo shaxobchaga jo‘natilgan mahsulot miqdori bo‘lsin. U holda dinamik dasturlash ning rekurrent formulasi quyidagicha bo‘ladi:

Misollarda hisoblash jarayoni quyidagicha olib boriliidi:
avval gi(0), g ^ l ) , .... gx(N) lar hisoblanadi, keyin //y(O),0 j(l),...,02(N ) , - oxirida gs(N), so‘ng boshidan oxiriga qarab hisoblash olib boriladi va y3 larning qiymatlari aniqlanadi.
Bu ko'rilgan model kuchlanishni taqsimlash inodelining xususiy holi bo‘lib, umumiysi quyidagi ko'rinishda bo‘ladi:

Bu yerda faraz qilinadiki, Hj(yj) lar kamaymaydigan funksiyalar va Hj(0) = 0. Rekurrent formula quyidagicha bo‘ladi:




Antagonistik o’yinlar nazariyasi.
Oʻyinlar nazariyasi oʻyinlarda optimal strategiyalarni oʻrganuvchi matematik metoddir. Oʻyin deganda, oʻzlarining manfaatlarini koʻzlovchi ikki va undan ortiq tomonlar ichida boruvchi kurash tushuniladi. O’yinlar nazaroyasi matematikaning bir bo’limi hisoblanib, bir necha ishtirokchi (Agent)dan iborat sistemani tahlil qilish bilan shug’ullanadi. Shuningdek, o’yinlar nazariyasi sozial konflikt vaziyatida razional qaror qabul qilish yo’llarini ham o’rganadi.
Antagonistik o’yinlar. Antagonistik o'yin yoki nol summali o'yin - bu o'yin nazariyasi atamasi. Antagonistik o'yin - foydalari qarama-qarshi bo'lgan ikki yoki undan ortiq o'yinchilar tomonidan o'ynaladigan hamkorliksiz o'yin. Rasmiy ravishda, antagonistik o'yin uchlik bilan ifodalanishi mumkin, bu erda X va Y mos ravishda birinchi va ikkinchi o'yinchilar uchun strategiyalar to'plamidir; F – birinchi o‘yinchining to‘lov funksiyasi bo‘lib, u har bir juft strategiya (vaziyat)ni (x,y), {\displaystyle x\in X,y\in Y}x\in X,y\in Y real bilan bog‘laydi. ushbu vaziyatni amalga oshirishda birinchi o'yinchining yordamiga mos keladigan raqam. O'yinchilarning manfaatlari qarama-qarshi bo'lganligi sababli, F funktsiyasi bir vaqtning o'zida ikkinchi o'yinchining yo'qolishini anglatadi. Tarixiy jihatdan, antagonistik o'yinlar qimor o'yinlari tasvirlangan o'yin nazariyasining matematik modellarining birinchi sinfidir. Ushbu tadqiqot mavzusi tufayli o'yin nazariyasi o'z nomini oldi deb ishoniladi. Hozirgi vaqtda antagonistik o'yinlar kooperativ bo'lmagan o'yinlarning kengroq sinfining bir qismi sifatida qaraladi. Antagonistik o'yinning eng oddiy namunasi - Eaglet o'yini. Birinchi o'yinchi tanga boshlarini yoki dumlarini yuqoriga yashiradi, ikkinchisi esa qanday yashiringanligini taxmin qilishga harakat qiladi.
Agar u to'g'ri hisoblamasa, birinchi pul birligini to'laydi, agar u to'g'ri taxmin qilsa, birinchisi unga bitta pul birligini to'laydi. Ushbu o'yinda har bir ishtirokchi ikkita strategiyaga ega: boshlar va quyruqlar. O'yindagi vaziyatlar to'plami to'rt elementdan iborat. Jadvalning qatorlari birinchi o'yinchining strategiyalarini x, ustunlari ikkinchi o'yinchi y strategiyalarini ko'rsatadi. Vaziyatlarning har biri uchun birinchi va ikkinchi o'yinchilarning to'lovlari ko'rsatilgan.
Bu o’yinnig qisqacha mazmuni tushinish uchun quyidagi jadval orqali vizual tasavvurga ega bo’lamiz:
X/Y Birinchi o’yinchi Ikkinchi o’yinchi
Birinchi o’yinchi -1;1 1;-1
Ikkinchi o’yinchi 1;-1 -1;1
Analitik jihatdan, birinchi o'yinchining to'lov funksiyasi quyidagi shaklga ega: bu erda va mos ravishda birinchi va ikkinchi o'yinchilarning strategiyalari. Birinchi o'yinchining daromadi ikkinchi o'yinchining yo'qotilishiga teng bo'lganligi sababli, u holda . Agar natija oxirgi harakatni amalga oshirgan o'yinchi tomonidan to'liq aniqlansa (agar harakat qoidalari o'yinchilar uchun bir xil bo'lsa), strategiyani Grundy funksiyasi yordamida topish mumkin.
Optimal aralash strategiya Ikkinchi o'yinchi bunday aralash strategiya deb ataladi, agar o'yin etarli miqdordagi vaqtni takrorlasa, minimal sonini beradi.
Maximin va minimallik holatida, minimal strategiyalar, optimal aralash strategiyalar, shunchalik optimal aralash strategiyalar ko'rsatiladi (matematik umidlar bilan bog'liq, ya'ni birinchi o'yinchini yutib olish va ikkinchi pleyerni yo'qotish bilan bog'liq):
,
Bu holda funktsiya uchun E. qayg'uli nuqta bor Tenglik nima.

O‘yinlar nazariyasining predmeti va asosiy tushunchalari

Matematikaning raqobatli holatlarini, yа’ni qatnashuvchilarning (o‘ynovchilarning) manfaatlari qarama-qarshi yoki bir-biriga mos kelmaydigan holatlarni o‘rganuvchi bo‘limi — «o‘yinlar nazariyasi» deb ataladi. O‘yinlar nazariyasi — raqobatli holatda qatnashayotgan har bir «o‘ynovchi»ga eng katta yutuqqa (yoki eng kichik yutqazishga) erishish uchun qilinadigan harakatlarning eng optimalini aniqlash uchun imkon beruvchi matematik nazariyadir.Ko‘pgina iqtisodiy jarayonlarga ham o‘yinlar nazariyasi nuqtai-nazaridan qarash mumkin. Masalan, o‘yin ishtirokchilari — bir xil turdagi mahsulot ishlab chiqaruvchi korxonalar, tа’minotchilar, iste’molchilar bo‘lib o‘yinning yutug‘i - ishlab chiqarish fondlarining samaradorligi, daromad mablag‘lari, mahsulotning bahosi yoki tannarxi bo‘lishi mumkin.
O‘yinlar nazariyasi nisbatan yosh fanlar qatoriga kiradi. Uning paydo bo‘lishi Neyman va Morgenshternlarning 1944 yil nashr etilgan. «Iqtisodiy jarayonlar va o‘yinlar nazariyasi» monografiyasi bilan bog‘liq. Keyinchalik o‘yinlar nazariyasi amaliy tatbiqlarga ega bo‘lgan mustaqil yo‘nalish sifatida rivojlandi.
Shuni tа’kidlash lozimki, O‘yinlar nazariyasining usullari va xulosalari ko‘p marta takrorlanadigan raqobatli holatlarga nisbatan ishlatiladi.Amalda, raqobatli holatlarni matematik usullar yordamida tadqiq etishda muhim bo‘lmagan faktlarni tashlab yuborib, holatlarning sodda modeli tuziladi.
O‘yin — raqobatli holatlarni ifodalovchi modeldan iborat bo‘lib, uning haqiqiy raqobatdan farqi shundan iboratki, u mа’lum bir qoida asosida amalga oshiriladi.
Har bir o‘ynovchining mа’lum maqsadga erishish niyatida bajarishi mumkin bo‘lgan harakatlari o‘yinning qoidalari deb ataladi.
O‘yinning natijalarini miqdoriy baholash to‘lov deb ataladi. O‘yinning mohiyati shundan iboratki, unda har bir o‘ynovchi o‘ziga eng yaxshi natija beruvchi yechimni tanlashga harakat qiladi.O‘yinda ikkita yoki undan ko‘p o‘ynovchilar qatnashishi mumkin. Shunga muvofiq o‘yin juft (ikki) o‘ynovchili va ko‘p o‘ynovchili bo‘lishi mumkin. Agar o‘yinda faqat ikkita o‘ynovchi qatnashsa, bunday o‘yin «juftli o‘yin» deb ataladi.
Agar juftli o‘yinda bir o‘ynovchining yutug‘i ikkinchi o‘ynovchining yutqazuviga teng bo‘lsa, bunday o‘yin «yig‘indisi 0 ga teng o‘yin» deb ataladi. Bu o‘yinda o‘ynovchilarning umumiy kapitali o‘zgarmaydi, faqat o‘yin davomida qayta taqsimlanadi va shu sababli yutug‘lar yig‘indisi nolga teng bo‘ladi, yа’ni

Bu yerda, - o‘ynovchining yutug‘i.
Yig‘indisi nolga teng bo‘lmagan o‘yinda o‘ynovchilar yutug‘larining yig‘indisi noldan farqli bo‘ladi. Masalan, lotoreya o‘yinida o‘ynovchilar qo‘ygan badalining bir qismi lotoreya tashkilotlariga beriladi.Bu o‘yinda

tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Biz quyida amaliy ahamiyati katta bo‘lgan o‘yinlardan — juft o‘yinlarni qarash bilan cheklanamiz. O‘yin ishtirokchilarini Ava B orqali belgilaymiz.
O‘yin jarayonida ro‘y berishi mumkin bo‘lgan har qanday holatga muvofiq ravishda o‘ynovchining qo‘llashi mumkin bo‘lgan qoidalar birlashmasi «strategiya» deb ataladi. Strategiyaning soniga qarab, o‘yinlar chekli yoki cheksiz o‘yinlarga bo‘linadi.
Optimal strategiya deb, o‘yin bir necha marta takrorlanganda o‘ynovchiga eng katta mumkin bo‘lgan o‘rtacha yutuqni tа’minlovchi sgrategiyaga aytiladi.
Ikki o‘yinchidan biri A o‘zining m mumkin bo‘lgan strategiyalaridan i-strategiyani tanlasin , ikkinchisi B esa birinchisining tanlovini bilmagan holda, o‘zining n ta imkoniyatidan j-strategiyani tanlasin . Natijada, A o‘ynovchi miqdorni yutadi,ikkinchi B o‘ynovchi esa shu miqdorni yutqazadi. sonlardan matritsa tuzamiz.

_{yoki, qisqacha}
.
matritsaning satri birinchi o‘yinchining strategiysiga, ustuni esa- ikkinchisining strategiysiga mos keladi. yutuq yoki o‘yinlar matritsasi deb ataladi.
m ta satr n ta ustundan iborat matritsa bilan aniqlangan o‘yin o‘lchovli chekli o‘yin deyiladi.
Optimal aralash strategiyalar va egar nuqtasini topish uchun, ya'ni aralash strategiyalarda matritsa o'yinini hal qiling Siz matritsa o'yinini chiziqli dasturlash vazifasi, ya'ni optimallashtirish vazifasi uchun qisqartirishingiz va tegishli chiziqli dasturiy dasturni hal qilishingiz kerak.