Ўзбекистон миллий университети ҳузуридаги илмий даражалар берувчи dsc. 03/30. 12. 2019. Fm. 01. 01 Рақамли илмий кенгаш математика институти

Тадқиқот натижаларининг апробацияси. Мазкур тадқиқот натижалари 

6  та  халқаро  ва  9  та  республика  илмий-амалий  анжуманларида  муҳокамадан 

ўтказилган. 

Тадқиқот  натижаларининг  эълон  қилинганлиги.  Тадқиқот  мавзуси 

бўйича жами 29 та илмий иш чоп этилган, шулардан, Ўзбекистон Республикаси 

Олий Аттестация комиссиясининг фан доктори диссертациялари асосий илмий 

натижаларини  чоп  этиш  тавсия  этилган  илмий  нашрларда  14  та  мақола, 

жумладан, 10 таси хорижий ва 4 таси республика журналларида нашр этилган. 

Диссертациянинг  тузилиши  ва  ҳажми.  Диссертация  кириш,  тўрт  боб, 

хулоса  ва  фойдаланилган  адабиётлар  рўйхатидан  ташкил  топган. 

Диссертациянинг ҳажми 155 бетни ташкил этган. 

11 

 

ДИССЕРТАЦИЯНИНГ АСОСИЙ МАЗМУНИ 

Кириш  қисмида  диссертация  мавзусининг  долзарблиги  ва  зарурати 

асосланган, 

тадқиқотнинг 

республика 

фан 

ва 

технологиялари 

ривожланишининг устувор йўналишларига мослиги кўрсатилган. Шунингдек, 

бу  қисмда  диссертация  мавзуси  бўйича  хорижий  илмий-тадқиқотлар  шарҳи, 

муаммонинг  ўрганилганлик  даражаси  келтирилган,  тадқиқотнинг  мақсади, 

вазифалари, объекти ва предмети тавсифланган, тадқиқотнинг илмий янгилиги 

ва  амалий  натижалари  баён  қилинган,  олинган  натижаларнинг  назарий  ва 

амалий аҳамияти очиб берилган, тадқиқот натижаларининг жорий қилиниши, 

нашр  этилган  ишлар  ва  диссертация  тузилиши  бўйича  маълумотлар 

келтирилган. 

Диссертациянинг «

Панжарада аниқланган Гиббс ўлчовлари ва унинг 

татбиқлари»  деб  номланувчи  биринчи  бобида  асосий  натижаларни  олишда 

зарур бўлган муҳим тушунчалар, спин қийматлар тўплами саноқли ва саноқсиз 

бўлган моделлар учун аниқланган Гиббс ўлчовлари ҳамда уларнинг татбиқлари 

батафсил  баён  этилган.  Шунингдек,  ихтиёрий  тартибли  Кэли  дарахтида  XY 

модели учун ҳароратнинг фаза алмашишини таъминловчи критик қийматлари 

аниқланган. 

Ҳар бир учидан 𝑘𝑘 + 1 та қирра чиқувчи циклик бўлмаган чексиз графга k-

тартибли Кэли дарахти деб аталади ва у 

( , )

k

V L

ℑ =

, 

𝑘𝑘 ≥ 1 каби белгиланади. Бу 

ерда  𝑉𝑉 −    учлар  тўплами,  L  эса  қирралар  тўплами.  Агар  x  ва  y  учлар  𝑙𝑙 ∈ 𝐿𝐿 

қирранинг 

учлар 

бўлса 

энг 

яқин 

қўшнилар 

дейилади 

ва  

𝑙𝑙 =< 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 >  каби  белгиланади.  Кэли  дарахтида  𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑉𝑉  учлар  орасидаги 

𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) масофа ушбу формула орқали аниқланади 

𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = min{𝑑𝑑|∃𝑥𝑥 = 𝑥𝑥

0

, 𝑥𝑥

1

, … , 𝑥𝑥

𝑑𝑑−1

, 𝑥𝑥

𝑑𝑑

= 𝑦𝑦 ∈ 𝑉𝑉, < 𝑥𝑥

0

, 𝑥𝑥

1

>, … , < 𝑥𝑥

𝑑𝑑−1

, 𝑥𝑥

𝑑𝑑

>}.  

Фиксирланган 𝑥𝑥

0

∈ 𝑉𝑉 учун қуйидагича белгилашлар киритамиз: 

( )

{

}

n

x

x

d

V

x

W

n

=

∈

=

0

,

|

,       

( )

{

}

n

x

x

d

V

x

V

n

≤

∈

=

0

,

|

, 

{

}

,

| ,

n

n

L

l

x y

L x y

V

= =<

>∈

∈

 

ва  𝑆𝑆(𝑥𝑥) = {𝑦𝑦 ∈ 𝑊𝑊

𝑛𝑛+1

: 𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 1}, 𝑥𝑥 ∈ 𝑊𝑊

𝑛𝑛

 

тўплам  билан  х  нинг  тўғри 

авлодлари тўплами дейилади.  

𝐺𝐺

𝑘𝑘

 

билан  иккинчи  тартибли  𝑘𝑘 + 1  та  циклик  группаларнинг  эркин 

кўпайтмасини  ва  𝑎𝑎

1

, 𝑎𝑎

2

, . . . , 𝑎𝑎

𝑘𝑘+1

 лар  билан  ушбу  группанинг  ясовчиларини 

белгилайлик. 

Н.Ғаниходжаев ва Ў.Розиқовнинг илмий ишларида 

k

ℑ . 

Кэли дарахтининг 

учлари  тўплами  𝑉𝑉   ҳамда  𝐺𝐺

𝑘𝑘

  

группанинг  элементлари  ўртасида  ўзаро  бир 

қийматли мослик ўрнатилган ва бу группанинг хоссалари ўрганилган. 

Айтайлик,Φ ⊂ ℝ тўплам берилган бўлсин. Кэли дарахтининг 𝑉𝑉 − учлари 

тўпламининг  бирор  бўш  бўлмаган  𝐴𝐴  қисм  тўпламида  аниқланган  𝜎𝜎

𝐴𝐴

: 𝐴𝐴 → Φ 

акслантиришга  𝐴𝐴  тўпламдаги  спин  қийматлари  Φ  тўпламдан  бўлган 

конфигурация  дейилади.  Одатда  берилган  спин  қийматлар  тўплами  маълум 

бўлгани  учун  шунчаки,  𝐴𝐴  тўпламдаги  конфигурация  дейилади.  𝐴𝐴 тўпламда 

аниқланган  барча  конфигурациялар  тўпламини  Ω

𝐴𝐴

= Φ

𝐴𝐴

 

билан  белгилаймиз. 

12 

 

Шунингдек, 𝜎𝜎 орқали  𝑉𝑉 тўпламдаги (x∈V  ⟼ σ(x)∈Φ) конфигурацияни  ва ўз 

навбатида 𝑉𝑉 тўпламда аниқланган барча конфигурациялар тўпламини Ω: = Φ

𝑉𝑉

  

билан белгилаймиз.  

Φ = [0,2𝜋𝜋) учун Ω тўпламда қуйидаги Ҳамилтонианни қараймиз: 

(

)

(

)

.

)

(

cos

)

(

)

(

cos

=

)

(

>

,

<

x

h

y

x

J

H

V

x

L

y

x

σ

σ

σ

σ

∑

∑

∈

∈

−

−

−

                      (1) 

бу ерда 𝐽𝐽 ∈ ℝ ∖ {0}. 

Ихтиёрий 



1,2,

=

n

 

натурал  сон  учун, 

 

тўпламда  қуйидагича 

аниқланган 

 

эҳтимоллик ўлчовини қараймиз:  

 

,

)

(

exp

=

)

(

),

(

1

)

(













+

−

∑

∈

−

x

x

n

W

x

n

n

n

n

h

H

Z

σ

σ

β

σ

µ

  

(2) 

бу ерда 𝛽𝛽 =

1

𝑇𝑇

  

ва  𝑇𝑇 > 0 температура. 

Агар ихтиёрий 

1

≥

n

 

ва 

1

1

n

V

n

σ

−

−

∈Ω

 

учун ушбу  

 

( )

(

1)

1

1

(

)

( (

)) =

(

)

n

n

n

n

W

n

n

n

W

n

d

µ σ

ω λ

ω

µ

σ

−

−

−

Ω

∪

∫

 

(3) 

тенглик  ўринли  бўлса,  у  ҳолда 

)

( n

µ

 

эҳтимоллик  ўлчовлари  кетма-кетлиги 

мувофиқлашган дейилади. Бу ерда 

)

(

=

))

(

(

dx

d

n

W

x

n

n

W

λ

ω

λ

∏

∈

 

ҳамда 

λ

 

Лебег ўлчови. 

 

Теорема  1.  (2)  кўринишдаги 



1,2,

=

),

(

)

(

n

n

n

σ

µ

 

эҳтимоллик  ўлчовлари 

кетма-кетма  кетлиги  мувофиқлашган  бўлиши  учун  ихтиёрий 

0

\ { }

x V

x

∈

 

олинганда ҳам қуйидаги тенглик ўринли бўлиши зарур ва етарли: 

 

(

)

(

)

du

y

u

f

u

h

u

J

du

y

u

f

u

h

u

t

J

x

t

f

x

S

y

)

,

(

)

(

cos

)

(

cos

exp

)

,

(

)

(

cos

)

(

cos

exp

=

)

,

(

2

0

2

0

)

(

β

β

β

β

π

π

−

−

−

∫

∫

∏

∈

 

(4) 

Бу ерда, 

)

[0,2

),

(

exp

=

)

,

(

0,

,

π

∈

−

t

h

h

x

t

f

x

x

t

 

ва 

)

(

=

du

du

λ

  

Лебег ўлчови. 

Теорема  2.  Айтайлик  температура  учун  қуйидаги  тенгсизлик  ўринли 

бўлсин: 

 

k

k

h

J

k

T

2

4

1

1

ln

|)

|

|

(|

2

>

2

+

+

+

. 

(5) 

У ҳолда (1) модел ягона Гиббс ўлчовига эга бўлади. 

Диссертациянинг  «

Спин  қийматлари  [0,1]  тўпламидан  бўлган 

моделлар  учун  Гиббс  ўлчовлари»  деб  номланувчи  иккинчи  бобида  камида 

иккита даврий Гиббс ўлчовларига эга бўлган континуум спин қийматли, қўшни 

таъсирли моделлар қурилган. 

V

n

Ω

( )

n

µ

13 

 

Иккинчи  бобнинг  биринчи  параграфида  ихтиёрий  тартибли 

 

Кэли 

дарахтида  аниқланган  модел  учун  трансляцион-инвариант  Гиббс  ўлчовлари 

ягона эмаслигини аниқловчи критик қийматлар топилган. 

Φ = [0,1] учун Ω

𝑉𝑉

 тўпламда қуйидаги Ҳамилтонианни қараймиз: 

                                  (6) 

бу  ерда  𝐽𝐽 ∈ ℝ ∖ {0}  ва  𝜉𝜉: (𝑢𝑢, 𝑣𝑣) ∈ [0,1]

2

→ 𝜉𝜉

𝑢𝑢,𝑣𝑣

∈ ℝ  чегараланган,  Лебег 

маъносида ўлчовли функция.  

Ихтиёрий 

N

k

∈

 

учун 

{

}

0

)

(

:

]

1

,

0

[

]

1

,

0

[

≥

∈

=

+

x

f

C

f

C

 

синфда 

k

H  

интеграл 

оператор ушбу кўринишда бўлсин: 

(

)( ) ∫

∈

=

1

0

,

)

(

)

,

(

N

k

du

u

f

u

t

K

t

f

H

k

k

.   

 

    (7) 

k

H  

операторга 𝑘𝑘-тартибли Ҳаммерштейн интеграл оператори дейилади. 

Таъкидлаш  жоизки,  агар 

2

≥

k

 

бўлса,  у  ҳолда  𝑘𝑘-тартибли  Ҳаммерштейн 

интеграл оператори ночизиқли оператор бўлади.  

Ў.Розиқов, Ю.Эшқобилов ва Ф.Ҳайдаровларнинг ишларидан маълумки, 

(6) модел учун трансляцион-инвариант Гиббс ўлчовлар тўплами Ҳаммерштейн 

интеграл операторининг қўзғалмас нуқталари орқали ифодаланади. Яъни, Кэли 

дарахтида  аниқланган  (6)  модел  учун  Гиббс  ўлчовлари  ушбу  интеграл 

тенгламанинг ечимлари орқали ифодаланади: 

( )

∏

∫

∫

∈

=

)

(

1

0

1

0

)

,

(

)

,

0

(

)

,

(

)

,

(

,

x

S

y

k

du

y

u

f

u

K

du

y

u

f

u

t

K

x

t

f

 ,    

 

(8) 

бу  ерда, 

)

exp(

)

,

(

tu

J

u

t

K

βξ

=

, 

]

1

,

0

[

,

,

0

)

,

(

∈

∈

>

t

V

x

x

t

f

 

номаълум  функция  ва 

)

(du

du

λ

=

 

Лебег ўлчови. 

 

Айтайлик, 

2

≥

k

 

бўлсин. Агар (6) моделдаги 

( ) ( )

x

y

σ

σ

ξ

 

функция қуйидаги 

кўринишда бўлса 

(

)

[ ]

1

,

0

,

,

2

1

2

1

4

1

ln

1

,

1

2

,

,

∈



























 −











 −

+

=

=

+

u

t

u

t

n

u

t

u

t

θ

β

β

θ

ξ

ξ

 

(9) 

бу  ерда 

1

0

<

≤

θ

,  у  ҳолда  𝑘𝑘-тартибли  Ҳаммерштейн  операторининг  ядроси  

қуйидагича бўлади: 

( )

1

2

2

1

2

1

4

1

,

+











 −











 −

+

=

n

u

t

u

t

K

θ

.   

 

(10) 

 

Қуйидагича белгилашларни киритамиз: 

k

Γ

( ), ( )

,

( ) =

,

x

y

x y

L

H

J

σ

σ

σ

ξ

〈

〉∈

−

∑

14 

 

even

,

агар жуфт,

| |

1,

агар ток

k

k

k

k

k



= 

−



    

ва   

odd

,

агар ток

| |

1,

агар жуфт.

k

k

k

k

k



= 

−



 

𝑉𝑉

𝑘𝑘

: (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ ℝ

2

→ (𝐶𝐶

1

, 𝐶𝐶

2

) ∈ ℝ

2

  оператор қуйидагича аниқлансин: 

 

( )

( )

жуфт

2

1

0,2,...,| |

,

1

2

1

1,3,...,| |

2

1

2

2

1

( , )

2

1

2

2

2

ток

i

i

k i

n

i

k

k n

i

i

k i

n

i

k

k

n

x

y

i

n

i

V

x y

k

n

x

y

i

n

i

θ

θ

−

+

=

−

−

+

=



 

+

⋅



 

+ +

 



= 

 

+



⋅

 



+ +

 



∑

∑

 

 

(11) 

 

Тасдиқ  3.  Берилган 

]

1

,

0

[

C

∈

ϕ

 

функция  𝑘𝑘-тартибли  Ҳаммерштейн 

интеграл  операторининг  қўзғалмас  нуқтаси  бўлиши  учун  унинг  қуйидаги 

кўринишда бўлиши зарур ва етарли: 

,

)

2

1

(

4

)

(

1

2

2

1

+

−

+

=

n

t

C

C

t

θ

ϕ

 

бу ерда  (𝐶𝐶

1

, 𝐶𝐶

2

) ∈ ℝ

2

 

жуфтлик (11) кўринишдаги 

n

k

V

,

 

операторнинг қўзғалмас 

нуқталари.  

Теорема 4. Ихтиёрий 𝑛𝑛 ∈ ℤ

+

 ва 

2

≥

k

 

учун 

)

1

2

(

3

2

+

+

=

n

k

n

c

θ

 

ўринли бўлса, у 

ҳолда (8) модел учун қуйидаги тасдиқлар ўринли: 

(i) 

c

θ

θ

≤

≤

0

 

ҳолда трансляцион-инвариант Гиббс ўлчови ягона; 

(ii) 

1

c

θ θ

< <

 

ҳолда трансляцион-инвариант Гиббс ўлчовлари учта. 

Иккинчи  бобнинг  иккинчи  параграфида  иккинчи  ва  учинчи  тартибли 

Кэли  дарахтида  аниқланган  модел  учун  фаза  алмашишлари  кўрсатилган. 

Хусусан,  

3

=

k

 

ва n=1 бўлганда 𝑉𝑉

3,1

: (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ ℝ

2

→ (𝑥𝑥

′

, 𝑦𝑦

′

) ∈ ℝ

2

 

оператор ушбу 

кўринишга эга бўлади: 













⋅

+

=

⋅

+

=

3

3

3

2

2

3

2

3

2

7

6

5

9

'

,

2

5

18

'

y

y

x

y

xy

x

x

θ

θ

θ

   

 

 

(12) 

Тасдиқ 5. а)  Агар 

9

5

0

≤

≤

θ

 

бўлса, у ҳолда 3-тартибли   Ҳаммерштйен 

оператори ягона мусбат қўзғалмас нуқтага эга; 

б) Агар 

1

9

5

<

<

θ

 

бўлса, у ҳолда 3-тартибли Ҳаммерштйен оператори фақат 

учта мусбат қўзғалмас нуқтага эга.  

15 

 

 

Агар 

9

5

0

≤

≤

θ

 

бўлса, 5-тасдиққа кўра H

3

 

оператор ягона 

( )

1

)

(

1

≡

=

t

t

ϕ

ϕ

 

қўзғалмас нуқтага эга бўлади. Агар 

1

9

5

<

<

θ

 

бўлса, у ҳолда ҳолда бу оператор 

қуйидаги мусбат қўзғалмас нуқталарга эга бўлади:  

1

)

(

1

≡

t

ϕ

,         

3

1

1

2

2

1

4

)

(











 −

+

=

+

+

t

y

x

t

θ

ϕ

,            

3

1

1

2

2

1

4

)

(











 −

+

=

−

+

t

y

x

t

θ

ϕ

.