Ўзбекистон миллий университети ҳузуридаги илмий даражалар берувчи dsc. 03/30. 12. 2019. Fm. 01. 01 Рақамли илмий кенгаш математика институти

16-

ШАРТ. Фараз қилайлик, берилган 

0

)

,

(

>

u

t

K

 

учун  (15) кўринишдаги 

оператор тескариланувчи бўлсин. 

 

(14

) дан қуйидагига эга бўламиз  

,

),

(

)

,

(

)

(

max

min

V

x

t

h

x

t

h

t

h

∈

∀

≤

≤

    

 

(17) 

бу ерда  

)

,

0

(

max

)

,

(

min

ln

)

(

]

1

,

0

[

]

1

,

0

[

min

u

K

u

t

K

k

t

h

u

u

∈

∈

=

, 

 

)

,

0

(

min

)

,

(

max

ln

)

(

]

1

,

0

[

]

1

,

0

[

max

u

K

u

t

K

k

t

h

u

u

∈

∈

=

. 

 

Биз  13-ШАРТ  ва  16-ШАРТлар  асосида  (14)  функционал  тенгламани 

қаноатлантурувчи континуумта турли 

ξ

x

t

h

,

 

функцияларни қура оламиз, бу ерда 

( )

t

ξ

 

қуйидагича аниқланади  

( )

].

1

,

0

[

),

(

)

(

max

min

∈

∀

<

<

t

t

h

t

t

h

ξ

    

 

(18) 

Теорема 17. Айтайлик, 13-ШАРТ ва 16-ШАРТлар ўринли бўлсин. У ҳолда 

(17) 

шартни  қаноатлантирувчи  ихтиёрий 

ξ

 

учун 

ξ

µ

 

Гиббс  ўлчови  мавжуд. 

Шунингдек,  агар 

η

ξ

≠

 

бўлса,  уларга  мос  Гиббс  ўлчовлари  ҳам  турли,  яъни 

η

ξ

µ

µ

≠

. 

Учинчи бобнинг тўртинчи параграфида Кэли дарахтида спин қийматлари 

саноқли  бўлган  SOS (Solid on Solid)  модели  учун  градиент  Гиббс  ўлчовлари 

топилган. 

Φ = ℤ бўлган SOS моделни қараймиз.  

SOS моделининг Ҳамилтониани ушбу кўринишда аниқланади:  

 

|,

)

y

(

)

x

(

|

J

=

)

(

H

L

y

,

x

σ

σ

σ

−

−

∑

∈

〉

〈

 

(19) 

 

бу ерда J ∈ ℝ ўзгармас сон.  

К.Кулске,  А.Линей,  Ф.Хеннинг  ва  Ў.Розиқовларнинг  ишида  бу 

моделнинг даврий градиент Гиббс ўлчовлари таърифланган ва уларни қуриш 

масаласи қуйидаги чексизта номаълумли ночизиқли тенгламалар системасини 

ечишга келтирилган:  

 

| |

|

|

0

| |

0

( )

=

,

(0)

1

k

i

i j

j

j Z

i

j

j

j Z

z

i

z

z

θ

θ

ν

ν

θ

−

∈

∈





+









+









∑

∑

 

(20) 

20 

 

бу ерда 𝑧𝑧

𝑖𝑖

= exp(ℎ

𝑖𝑖

) ,   𝑖𝑖 ∈ ℤ. 

0

>

u

0

учун 

k

i

0

i

z

u

=

u

 

бўлса, у ҳолда (20) тенгликни қуйидаги  

𝑢𝑢

𝑖𝑖

= 𝐶𝐶�∑

𝜃𝜃

𝐽𝐽

𝑢𝑢

𝑖𝑖−𝑗𝑗

𝑘𝑘

 

+∞

𝑗𝑗=1

+ 𝑢𝑢

𝑖𝑖

𝑘𝑘

+ ∑

𝜃𝜃

𝐽𝐽

𝑢𝑢

𝑖𝑖+𝑗𝑗

𝑘𝑘

 

+∞

𝑗𝑗=1

�,    𝑖𝑖 ∈ ℤ               (21) 

кўринишда қайта ёзиб оламиз.  

Тасдиқ  18.  Ушбу 

= ( ,

)

i

u i

Z

∈

u

, 

1

=

u

0

 

вектор  (21)  нинг  ечими  бўлиши 

учун 

)

z

(=

u

k

i

i

 

вектор 

 

1

1

1

1

=

,

,

k

i

i

i

i

u

u

u

u

i

Z

u

u

τ

τ

−

+

−

+

−

∈

+

−

 

(22) 

 

тенгликни қаноатлантириши зарур ва етарли, бу ерда 

θ

θ

τ

+

−1

=

.  

 

Ушбу тасдиқдан қуйидаги тенгликка эга бўламиз  

 

1

0

0

1

1

1

=

.

l

r

u

u

θ θ

τ

−

−

−

+ +

+ −

 

(23) 

 (22) 

тенгламалар  системаси  қуйидаги  иккита  ўзаро  боғлиқ  бўлмаган 

рекуррент тенгламаларга ажралади: 

 

      

,

u

u

u

)

u

u

(

=

u

1

i

i

k

i

1

1

1

i

+

−

−

−

−

−

−

−

+

−

+

τ

τ

 

(24) 

  

 

,

u

u

u

)

u

u

(

=

u

1

i

i

k

i

1

1

1

i

−

−

+

−

+

−

+

τ

τ

 

(25) 

 

бу ерда 

1

i

≥

, 

1

=

u

0

 

ва 

1

u

−

, 

1

u - 

бирор бошланғич қийматлар. 

Шунингдек, агар (25) тенгламанинг ечими 

i

u  

бўлса, у ҳолда 

i

u

−

 

сони (24) 

тенгламанинг ечими бўлади. Демак, фақат (25) тенгламани қараш етарли. 

(22) 

тенгламанинг даврий ечимларини қарайлик. Яьни, (22)  тенгламанинг 

ечимлари қуйидаги кўринишда бўлсин: 

 

1,

= 2 ,

=

,

= 4

1,

,

,

= 4

1,

n

агар n

m

u

a

агар n

m

m Z

b

агар n

m





−

∈





+



 

(26) 

бу  ерда  a   ва 

b

 

бирор  мусбат  сонлар.  Ушбу  ҳолда  (25)  тенглама  қуйидаги 

тенгламалар системасига тенг кучли бўлади:  

 

0.

=

2

a

a

)

b

a

(

0

=

2

b

b

)

b

a

(

k

k

−

+

−

+

−

+

−

+

τ

τ

τ

τ

 

(27) 

(27) 

тенгламалар  системасининг  мусбат  ечимларини  топиш  орқали 

қуйидаги теорема исботланди. 

21 

 

Tеорема 19. Айтайлик, 

2

k

≥

 

ва 

b

=

a

 

бўлсин. У ҳолда шундай 

0

>

c

τ

 

сони 

топиладики, 

k

-

регуляр  дарахтда  аниқланган 

)

(

cosh

2

=

β

τ

 

параметрли  SOS-

модели (19) учун қуйидаги муносабатлар ўринли бўлади:   

1. Агар 

c

<

τ

τ

 

тенгсизлик ўринли бўлса, у ҳолда (26) кўринишдаги ечимга 

мос келувчи ягона 3-даврий градиент Гиббс ўлчови мавжуд; 

2. Агар 

c

=

τ

τ

 

тенглик ўринли бўлса, у ҳолда (26) кўринишдаги  ечимга мос 

келувчи 3-даврий айнан иккита градиент Гиббс ўлчовлари мавжуд;   

3. Агар 

c

τ τ

>

 

тенгсизлик ўринли бўлса, у ҳолда айнан учта градиент Гиббс 

ўлчовлари мавжуд.  

Теорема  20.    Айтайлик, 

2

k

≥

 

ва 

b

a

≠

 

бўлсин.  У  ҳолда 

k

-

регуляр 

дарахтда  аниқланган 

)

(

cosh

2

=

β

τ

 

параметрли  SOS-модели  учун  қуйидаги 

муносабатлар ўринли:   

1.  Берилган  мусбат 

b

 

сони  учун   

b

2

≤

τ

 

бажарилса,  у  ҳолда    (26) 

кўринишдаги ечимга мос келувчи градиент Гиббс ўлчови мавжуд эмас;  

2.    Берилган  мусбат 

b

 

сони  учун   

b

2

>

τ

бажарилсаа,  у  ҳолда  (26) 

кўринишдаги ечимга мос келувчи  ягона градиент Гиббс ўлчови мавжуд. 

 

Диссертациянинг  «

Ўзаро  таъсирли  Поттс  модели  учун  асосий 

ҳолатлар» деб номланувчи тўртинчи бобида спин қийматлари саноқли бўлган 

Поттс модели учун кучсиз даврий асосий ҳолатлар топилган. 

Тўртинчи  бобнинг  биринчи  параграфида  зарурий  тушунчалар  ва 

панжарали системаларда аниқланган моделлар учун топилган асосий ҳолатлар 

ҳақида маълумотлар берилган. 

Тўртинчи бобнинг иккинчи параграфида Кэли дарахтида ўзаро таъсирли, 

спин  қийматлари  саноқли  бўлган  Поттс  модели  учун  функционал  тенглама 

топилган. 

Ўзаро таъсирли Поттс моделининг Ҳамилтониани қуйидагича аниқланади:  

),

(

)

(

2

)

,

(

:

,

2

)

(

)

(

,

,

,

1

=

)

(

y

x

y

x

d

V

y

x

y

x

V

y

x

y

x

J

J

H

σ

σ

σ

σ

δ

δ

σ

∑

∑

=

∈

∈

〉

〈

+

  

(28) 

бу ерда 𝐽𝐽

1

, 𝐽𝐽

2

∈ ℝ. 

Айтайлик, 

ℎ: 𝑥𝑥  ⟼ ℎ

𝑥𝑥

= �ℎ

0,𝑥𝑥

, ℎ

1,𝑥𝑥

, … � ∈ ℝ

∞

 

ҳақиқий 

қийматли 

функциялар  кетма-кетлиги  ва 

}

,

0

)

(

{

Φ

∈

>

=

i

i

ν

ν

 

бирор  эҳтимоллик  ўлчови 

бўлсин. 

Ихтиёрий 



1,2,

=

n

 

натурал  сон  учун, 

 

да  аниқланган 

 

эҳтимоллик ўлчовини қуйидагича аниқлаймиз:  

 

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

∏

∑

∈

∈

−













+

−

=

n

n

V

x

W

x

x

x

n

n

n

n

x

h

H

Z

σ

ν

σ

β

σ

µ

σ

,

1

exp

, 

(29) 

V

n

Ω

( )

n

µ

22 

 

бу ерда 𝛽𝛽 = 1/𝑇𝑇 ва  𝑇𝑇 − температура.   

Теорема 21. (29) кўринишдаги 



1,2,

=

),

(

)

(

n

n

n

σ

µ

 

эҳтимоллик ўлчовлари 

кетма-кетлиги  мувофиқлашган  бўлиши  учун  ихтиёрий 

0

\ { }

x V

x

∈

 

олинганда 

ҳам қуйидаги 

(

)

,...,

3

,

2

,

1

,

,

,

,

*

*

*

,

=

=

i

J

h

h

F

h

z

y

i

x

i

β

.   

 

 (30) 

тенглик ўринли бўлиши зарур ва етарли.  Бу ерда,  

( )

( )

( )

( )













+

−

+

−

=

,...

0

2

ln

,

0

1

ln

,

0

,

2

,

0

,

1

*

ν

ν

ν

ν

x

x

x

x

x

h

h

h

h

h

, 

(

)

{

}

(

)

{

}

.

exp

1

exp

1

ln

)

,

,

,

(

0

0

,

*

,

*

,

1

0

0

,

*

,

*

,

1

*

*

∑

∑

∞

≠

+

=

∞

≠

+

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

q

p

q

p

z

q

y

p

pq

ip

q

p

q

p

z

q

y

p

pq

ip

z

y

i

h

h

J

iq

J

h

h

J

iq

J

J

h

h

F

βδ

δ

δ

β

βδ

δ

δ

β

β

 

Тўртинчи  бобнинг  учинчи  параграфида  ихтиёрий  тартибли  Кэли 

дарахтида ўзаро таъсирли Поттс модели учун асосий ҳолатлари топилган. 

Фараз қилайлик М тўплам Кэли дарахтидаги барча бирлик шарлар оиласи 

бўлсин.  Берилган  𝜎𝜎 ∈ Ω

V

   конфигурациянинг  𝑏𝑏 ∈ 𝑀𝑀  шардаги  қисми 

b

σ

 

чегараланган  конфигурация  деб  аталади.  𝑏𝑏 ∈ 𝑀𝑀  шарда 

b

σ

 

конфигурациянинг 

энергияси қуйидагича аниқланади: 

 

 

)

(

)

(

2

=

)

,

(

:

,

2

)

(

)

(

,

>,

,

<

1

2

1

=

)

,

(

)

(

y

x

y

x

d

b

y

x

y

x

b

y

x

y

x

b

b

J

J

J

U

U

σ

σ

σ

σ

δ

δ

σ

σ

∑

∑

∈

∈

+

≡

  

(31) 

бу ерда 𝐽𝐽 = (𝐽𝐽

1

, 𝐽𝐽

2

) ∈ ℝ

2

. 

Лемма  22.  Ихтиёрий  𝑘𝑘 ≥ 2 натурал  сон  ва  𝐽𝐽

1

, 𝐽𝐽

2

∈ ℝ  сонлар  берилган 

бўлсин. Қуйидагилар ўринли. 

1)   

b

σ

 

чегараланган  конфигурация  учун 

i

c

b

b

=

)

(

σ

  (

бу  ерда 

b

c

 

нуқта 

b

шарнинг  маркази), 

|{ :

( ) = 1}|=

,

b

x

x

m

σ

 

|{ : ( ) = 2}|= ,

x

x

n

σ

 

|{ : ( ) = 3}|= ,

x

x

l

σ

 

ўринли бўлса,  у ҳолда 

)

(

b

U

σ

 

қуйидаги кўринишда бўлади:  

 

2

2

2

2

2

1

3

3

2

1

2

1

,

)

(

)

(

2

1

=

)

,

,

,

,

,

(

)

(

J

C

C

C

C

J

l

l

n

m

J

J

r

l

n

m

U

U

r

l

n

m

i

i

i

i

k

i

b

+

+

+

+

+

+

+

+

≡

δ

δ

δ

δ

σ

 

(32) 

бу ерда 𝑚𝑚, 𝑛𝑛, 𝑙𝑙, 𝑟𝑟 ∈ ℤ

+

,    𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 + 𝑙𝑙 + 𝑟𝑟 = 𝑘𝑘 + 1. 

2) 

Ихтиёрий 

b

σ

 

чегараланган конфигурация учун қуйидаги ўринли:   

𝑈𝑈(𝜎𝜎

𝑏𝑏

) ∈ {𝑈𝑈

𝑖𝑖,𝑘𝑘

(𝑚𝑚, 𝑛𝑛, 𝑙𝑙, 𝑟𝑟, 𝐽𝐽

1

, 𝐽𝐽

2

): 𝑚𝑚, 𝑛𝑛, 𝑙𝑙, 𝑟𝑟 ∈ ℤ

+

, 𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 + 𝑙𝑙 + 𝑟𝑟 = 𝑘𝑘 + 1}.

 

23 

 

Ушбу белгилашларни киритамиз:  

( )

( )

(

) = {

:

( ) = ,

(

) = },

= 1, 2,3, 4;

i

i

p

p

b

k

b

b

b

j

F

F

j

N

c

i

a

p

p

σ

σ

σ

≡

∈

 

}.

|=

|

,

|=

|

,

|=

|

,

=

)

(

:

{

=

)

(

3

)

(

2

)

(

1

)

(

,

,

l

F

n

F

m

F

i

c

i

i

i

b

b

b

i

l

n

m

σ

σ

Ω

 

)

(

=

)

(

,

,

4

)

(

,

,

i

l

n

m

S

i

l

n

m

C

Ω

∈

π

π



,  

бу ерда 

4

(4))

(3),

(2),

(1),

(

=

S

∈

π

π

π

π

π

 

ва  

}

:

{

=

)

(

)

(

,

,

)

(

,

,

i

l

n

m

i

l

n

m

Ω

∈

Ω

σ

πσ

π

, 

))

(

(

=

)

)(

(

x

x

σ

π

πσ

.