Ўзбекистон республикаси соғЛИҚни сақлаш вазирлиги тошкент фармацевтика институти

8.Uzatish  funksiyasi. 
  
   
Chiziqli stasionar sistemaning differensial tenglamasi umumiy holda  quyidagi ko‟rinishga ega. 
 
(ad
n
y/dt
n
+a
1
d
n-1
y/dt
n-1
+….+a
n
y(t))=

B
0
d
m
x/dt
m-1
+B
1
d
m-1
x/dt
m-1
+ …+B
m
x(t)

  
(11) 
 Zveno yoki sistemaning uzatish funksiyasi W(P) deb, boshlang‟ich shartlari nolga teng bo‟lganda, 
chiqish signalining  Laplas tasvirini  kirish signalining Laplas tasviriga nisbatiga aytiladi. 
 
(11) tenglamani Laplas tasviri bo‟yicha o‟zgartiramiz. Buning uchun differensial tenglama d/dt 
operatorini «R» komleks o‟zgaruvchi bilan almashtiramiz. 
 
(a
0
P
n
+a
1
P
n-1
 +….a
n
)Y(P)=(B
0
P
m
+B
1
P
m-1
+…B
m
)X(P) 
(12) 
 Uzatish funksiyasining ta‟rifiga muvofiq W(P) ni quyidagi ko‟rinishida ifodalash mumkin. 
 
W(P)=Y(P)/X(P)=(B
0
P
m
+B
1
P
m-1
 +….B
m
)/(a
0
P
n-1
+…a
n
)   
(13) 
Yoki  W(P)=P(P)/Q(P)  ,  
bunda  P(P)=B
0
P
m
+B
1
P
m-1
+…B
m
    Q(P)=a
0
P
n
+…..a
n
  
«R» ga bog‟liq bo‟lgan polinomlar. 13 tenglamaga muvofiq zveno yoki sistemaning chiqish 
signalining Laplas tasviri Y(P)= W(P)X(P) (14) ga teng bo‟ladi. Endi zveno yoki sistemaning uzatish 
W(P) funksiyasi bilan o‟tkinchi h(t) hamda impulsli o‟tkinchi funksiyasi 

 W(P) orasidagi bog‟lanishni 
ko‟rib chiqamiz.  
 
 
 
 
 
A) agar kirish signali X(t)=1(t) bo‟lsa, unda uning Laplas tasviri  X(r)=1/R bo‟ladi. 14 formulaga 
muvofiq chiqish signalining Laplas tasviri. Y(P)=W(P) 1/P ga teng bo‟ladi. Bundan original 
funksiyaga o‟tsak  
Y(t)=h(t)=L
-1

W(P)1/P

 bo‟ladi. Demak, o‟tkinchi funksiya h(t) bilan uzatish funksiyasi W(P) bir 
ma‟noli bog‟langan  ekan.  
B) agar X(t)=

(t) bo‟lsa, unda X(R)=1 ga teng, 14 formulaga muvofiq chiqish signalining Laplas 
tasviri Y(P)=W(P) bo‟lib, uning originali impulsli o‟tkinchi bo‟ladi, ya‟ni Y(t) =W(t)= L
-1
 

W(P)

  
 
Demak, impulsli o‟tkinchi funksiya 

(t) uzatish funksiya W(P) ning originali ekan. Endi 
система ѐки
 
звено
 
8 – расм 
 
y(p)
 
x(p)
 
W(P)
 
13 – 
расм  

 
126 
 
uzatish funksiyasining mohiyatini konkret misolda ko‟rib  iqamiz. 
 
RC- zanjiri berilgan bo‟lsin (15-rasm). Shu zanjirning uzatish funksiyasi W(P) ni topish kerak.  
 
Z
k
(P)
 
=R+1/PC 
 
Z
ch
(P)=1/PC 
 
 
 
 
 
 
W(P)= Z
k
(P)/ Z
ch
(P)=(1/PC)/(R+1/PC)=1/RPC+1 
Bunda RC=T- vaqt doimiyligi. 
SR-zanjiri berilgan bo‟lsin (15-rasm). Shu zanjirning uzatish funksiyasi W(P)ni topish kerak.  
 
Z
k
(P)
 
= R +1/PC 
 
Z
ch
(P)= R 
 
 
 
 
W(P)= Z
k
(P)/ Z
ch
(P)= R /(R+1/PC)=RS R /(RPC+1)=RT/(RT+1) 
T= RS-vaqt doimiyligi. 
 
9.ABS larning chastotali xarakteristikalari. 
 
Chiziqli stasionar sistemalarni tasvirlashda chastotali xarakteristikalar juda muxim rol 
o‟ynaydi. 
 
Bir o‟lchamli chiziqli stasionar sistemaning umumiy ko‟rinishidagi tenglamasini quyidagicha 
ifodalash mumkin. 
 
 
(a
0
P
n
+a
1
P
n-1
 +….a
n
)Y(P)=(B
0
P
m
+B
1
P
m-1
+…B
m
)X(P)   
(15) 
 
Uning uzatish funksiyasi W(P) ta‟rifga binoan  
(2) W(P) =(V
0
R
m
+B
1
P
m-1
+…..+B
m
)/(a
0
P
n
+a
1
P
n-1
+…..+a
n
) ga teng. 
W(j ω) funksiyasi uzatish funksiyasi W(P)  
 
R= j ω almashtirish bilan ani±lanadi. 
 
W(j ω) =(V
0
(j ω)
m
+B
1
(j ω)
m-1
+…..+B
m
)/(a
0
(j ω)
n
+a
1
(j ω)
n-1
+…..+a
n
)         (16) 
va chastotali uzatish funksiyasi deyiladi. CHastotali uzatish funksiyasi chastota deb ataluvchi haqiqiy 
o‟zgaruvchi 

 bog‟liq bo‟lgan kompleks funksiyadir.  
 
Shuning uchun bu W(j

) funksiyani quyidagi ko‟rinishda ifodalash mumkin. 
 
W(j 

)=U(

)+jv(

)-algebraik yozuv formasi. 
 
W(j 

)= A(

) e 
j

(

)
-darajali yozuv formasi. 
 
Bunda A(

)=

U
2
(

)+V
2
(

) amplitudasi 
С
 
Z
ч 
R
 
Z
k
 
14 – расм 
 
R
 
Z
ч 
C
 
Z
k
 
15 – расм  

 
127 
 
 

(

)=arctgV(

)/U(

) faza 
  
 
 
 
 
 
 
 
Kompleks tekisligida W(j 

) funksiyasi OS vektor orqali ifodalash mumkin. Bu vektorning 
uzunligi chastotali uzatish funksiyasining amplitudasi «A» ga, vektor bilan musbat haqiqiy o‟q 
orasidagi burchak esa faza «

» ga teng bo‟ladi.(16-rasm). 
 
CHastota 0

 °zgarganda OS vektorning kompleks tekisligida chizgan egri chiziІiga 
amplituda – fazali xarakteristika (AFX) deyiladi yoki boshqacha qilib aytganda AFX deb kompleks 
tekisligida chastotaning o‟zgarishiga qarab amplituda va fazaning o‟zgarishiga aytiladi.  
 
CHastotali uzatish funksiyasining amplitudasi chiqish signalining amplitudasini kirish 
signalining amplitudasiga nisbatan necha marotaba kattaligini ko‟rsatadi. 
 
Ya‟ni A(

)=mod W(j 

)= A
ch
 (

)/A
k
(

) 
 
CHastotali uzatish funksiyasining argumenti chiqish va kirish signallari orasidagi burchak 
siljishini ko‟rsatadi.  
 
Ya‟ni 

(

)=arg W(j 

) 
 
CHastotali xarakteristikalarning quyidagi turlari mavjuddir. 
 
A(

)=W(j 

) –amplituda chastotali xarakteristika. 
 

(

)=arg W(j 

) – faza – chastotali xarakteristika. 
 
U(

)=Re W(j 

)- haqiqiy chastotali va  
 
V (

)=I
m
 W(j 

) – mavhum chastotali xarakteristikalar. 
 
Lekin sistemaning dinamik xususiyatlarini tekshirayotganda logarifmik chastotali 
xarakteristikalardan foydalanish ancha qulaylik tuІdiradi. 
 
L (

)=20 lgA (

) =20   lg W(j 

) – funksiyasining logarifmik chastotaga bog‟liq holda 
chizilgan grafigiga logarifmik amplituda chastotali xarakteristika (LACHX) deyiladi. 
 
LACHX chizilayotganda absissa hqi  bo‟ylab logarifmik masshtabda chastota qiymati, ordinata 
o‟qi bo‟ylab esa L (

) qiymati qo‟yiladi. 
 
L (

)- o‟lchov birligi «desibell» dir, logarifmik chastotaning o‟lchov birligi esa «dekada» dir. 
 
CHastotaning o‟n marta o‟zgarishiga dekada deyiladi. quvvatning o‟n marta ko‟payishiga bell 
deyiladi. 
 
1-bell quvvat bo‟yicha ko‟paytirish koeffisientining o‟lchov birligidir. O‟z navbatida quvvat 
amplitudaning kvadratiga proporsionaldir, ya‟ni R(

)=A
2
(

). Shuning uchun quvvat bo‟yicha 
kuchaytirish koeffisientining amplituda orqali ifodasi lgA
2
(

)=2lgA (

) (bell)ga tengdir, yoki L 
(

)=20lgA (

) disebillga teng bo‟ladi. 
 
 
C
 
A(ω)
 
υ(ω)
 
ω = ∞
 
0
 
U(ω)
 
jv(ω)
 
16
 – 
расм  

 
128 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O‟zlashtirish uchun savollar: 
1.
 
Axborotning ta‟rifini ayting? 
2.
 
Axborotning qanaqa turlari bor? 
3.
 
Qanday sistemalarga stasionar sistemalar deyiladi? 
4.
 
Qanday sistemalarga nostasionar sitemalar deyiladi? 
5.
 
Qanday boshqarishga statik va astatik boshqarish deyiladi? 
6.
 
ABNda chiziqlantirilgan differensial tenglamaning ko‟rinishi qanday? 
7.
 
Laplas °zgartirishining matematik ifodasi qanday? 
8.
 
Pog‟onali funksiyaning Laplas bo‟yicha tasviri qanday? 
9.
 
Impulsli funksiyaning Laplas bo‟yicha tasviri qanday? 
10.
 
Sinusoidal funksiyaning Laplas bo‟yicha tasviri qanday? 
11.
 
Uzatish funksiyasining Laplas bo‟yicha tasviri qanday? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
129 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13,14-MA’RUZA 
 
MAVZU: AVTOMATIK BOSHQARISH SISTEMALARINING ASOSIY TIPIK ZVENOLARI 
VA ULARNING XARAKTERISTIKASI 
 
 
Reja: 
1.
 
Proporsional va kuchaytiruvchi zveno. 
2.
 
Ideal integrallagich zveno. 
3.
 
Ideal-differensiallagich zveno. 
4.
 
Ketma-ket ulangan zvenolar. 
5.
 
Zvenolarning parallel ulanishi. 
6.
 
Zvenolarning teskari bog‟lanish zanjiri orqali ulanishi. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
130 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Adabiyotlar: 
1. Yusupbekov N.R. va boshqalar. “Texnologik jarayonlarni boshqarish  sistemalari”, -Toshkent, 1997 
y. 
2. Yusupbekov N.R. va boshqalar. “Avtomatika va ishlab chiqarish jarayonlarini avtomatlashtirish.”, -
Toshkent, 1982 y. 
3. Mansurov X.N. “Avtomatika va ishlab chiqarish jarayonlarini avtomatlashtirish”,-Toshkent 1987 y. 
4.  Майзель  М.М  “Основы  автоматики  и  автоматизации  производственных  процессов  ”,  - 
Toshkent, 1964 
 
Avtomatik boshqarish sistemalarining zvenolari har xil fizikaviy tabiatga, ishlash prinsipiga, 
konstruktiv formaga hamda sxemalarga ega b°lishi mumkin. Lekin, bu zvenolarning dinamik 
xususiyatlarini o‟rganishda, tadqiq qilishda uning chiqishidagi hamda kirishidagi kattaliklarni 
bog‟lovchi tenglama muhim rol o‟ynaydi. 
 
Matematik ifodasi differensial tenglama bilan yoziladigan zvenolarga dinamik zveno deyiladi. 
 
Tipik dinamik zveno deb, tartibi 2 dan yuqori bo‟lmagan differensial tenglama bilan 
yoziladigan zvenolarga aytiladi. Ularga asosan quyidagilar kiradi: 
1.
 
Proporsional yoki kuchaytiruvchi zvenolar. 
2.
 
Birinchi tartibli inersial zveno. 
3.
 
Tebranuvchi zveno. 
4.
 
Ideal integrallagich zveno. 
5.
 
Ideal differensiallagich zveno. 
6.
 
Birinchi tartibli tezlatuvchi zveno. 
7.
 
Ikkinchi tartibli tezlatuvchi zveno. 
quyida shu zvenolarning vaqt іamda chastotali xarakteristikalari keltirilgan. 
 
1.
 
Proporsional yoki kuchaytiruvchi zveno. 
Bu zvenoning umumiy tenglamasi quyidagicha ifodalanadi. 
 
Y(t)=KX(t) 
(1) 
 
Bunda K-uzatish koeffisienti. 
 
Bunday zvenoning chiqishidagi kattalik kirishdagi kattalik proporsional ravishda o‟zgaradi. 
 
Bu zvenoga elektron kuchaytirgich, potensiometr, taxogenerator kabi elementlar misol bo‟la 
oladi.(1-rasm). 
 
Zvenoning dinamik xususiyatini aniqlovchi (1) tenglamaga Laplas o‟zgarishini qo‟llab, 
zvenoning uzatish funksiyalarini aniqlash mumkin. 
 
 
 
U
u
(y) 
U
k
(x) 
б)
 
U
q
(y) 
U
k
(x) 
a
) 
U
тт
(y) 
Т
Г
 
ҚЧ
 
в)
 

 
131 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1-rasm. a) elektro kuchaytirgich; b) potensiometr; v) taxogenerator. 
 
Bunda kirish kattaligi “

” o‟qning aylanish tezligi. 
 
Y(p)=KX(p) 
(2) 
bundaN 
 
W(p)=Y(p)/X(p)=K 
(3) 
 
Shunday qilib, proporsional zvenoning uzatish funksiyasi kuchaytirish koeffisienti “K” ga teng 
bo‟ladi. 
 
Uzatish funksiyasi orqali zveno yoki sistemaning vaqt xarakteristikalarini aniqlash mumkin. 
 
 
 
 
h(t)= L
 -1
 

 W (p)1/p

=L
-1
 

K1/p

=K1(t) 
(4)   
 
CHastotali uzatish funksiyasini aniqlash uchun uzatish funksiyasi W(p)da “R” ni “ j 

” bilan 
almashtiriladi. 
 
 W (j

)=K; A(

); 

(

)=0 
 
 L(

)=201jA(

)=201jK 
 
Bu zvenoning chastotali xarakteristikalari 2-rasmda keltirilgan. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (ω)
 
A(ω)
 
jv(ω)
 
U(ω)
 
K
 
a)
 
K
 
б
) 
L
(ω) gδ 
ω
(дек) 
ω
(дек) 
20lgK
 
ω
 
υ
(ω) 
в
) 
г
) 

 
132 
 
 
 
 
 
 
2 – rasm. a) amplituda-fazali; b) amplituda-chastotali; v) faza-chastotali; g)logarifmik amplituda 
chastotali xarakteristikalar. 
 
 
Bu xarakteristikalardan ko‟rinib turibdiki, faza siljishi nol holatida butun chastota spektrida (0;

) bu 
zvenolardagi jarayon o‟zgarishsiz o‟tadi. 
 
                          2. Ideal integrallagich zveno. 
 
Bu zveno Y(t)=K

X(t)dt                   (5) 
tenglama bilan ifodalanadi. 
 
Bunda K-uzatish koeffisienti. Uning elektr sig‟imi va induktivlik hamda aylanma o‟q misol 
bo‟la oladi. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
        a) U
c
=1/c

idt                    b) 

=1/W

Udt                           v) 

=

dt   
. 
3-rasm. a) elektr sig’imi; b) elektr induktivligi; v) aylanma o’q. 
 
(5) tenglamani Laplas bo‟yicha tasviri quyidagi ko‟rinishga ega:  
          Y(p)= K/p X (p))    (6)  zvenoning uzatish funksiyasi aniqlanadi. 
 
W (p)= Y(p)/ X (p)= K/p                    (7) 
 
Bu zvenoni yana astatik zveno deb ham yuritiladi. 
 
Integrallagich zvenoning o‟tkinchi funksiyasi: 
 
h(t)=L
 -1

W(p)1/p

=L
-1

(K/R)(1/p)

=Kt(1(t)) 
(8) 
va impulsli o‟tkinchi funksiyasi (vazn funksiyasi) 
 

(t)= h
1
(t)=K 
(9) 
4-rasmda keltirilgan. 
i(x)
 
С
 
U
c
(у) 
Ф(
у) 
L
 
W
 
U(
х) 
υ
(y) 
ω
(x) 

 
133 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
4-rasm. a) o’tkinchi xarakteristika. b)impulsli o’tkinchi xarakteristika. 
 
Integrallagich zvenoning chastotali uzatish funksiyasi 
  
W (j

)=K/j

=(K/

)e
-j(

/2)                     
 (10) 
bo‟lib,unda 
A(

)=K/

-amplituda chastotali funksiya. 

(

)= -

/2 –faza chastotali funksiyadir.(5-rasm). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5-rasm. a) AFX; b) ACHX; v)FCHX; 
 
Zvenoning AFXsi (10) ifodaga muvofiq kompleks tekisligining manfiy mavhum o‟qi bilan mos 
tushadi va chastota 0

 bo‟lganda koordinata o‟qi boshiga tomon yo‟naltirilgan bo‟ladi. 
 
Logarifmik amplituda chastotali xarakteristika (LACHX) 
 
L(

)=20lgA(

)=20lg(K/

)=20lgK-20lg

 
Ifoda yordamida aniqlanadi.(6-rasm). 
 
 
 
ω=1; L(ω)=0 
ω=10; L(ω)=-20 db  
K
 
t
 
 ω
(t) 
t
 
h(t)
 
arctgK
 
a)
 
б
) 
 -υ(ω
) 
π
/2 
ω
 
ω
 
A(
ω) 
ω
=∞ 
U(
ω) 
jv(
ω) 
ω
 → 0 
a)
 
б
) 
в
) 
К=
1 
-40 
-20 
90 
20 
40 

 
134 
 
ω=100; L(ω)=-40 db 
ω=0,1; L(ω)=20 db 
ω=0,01; L(ω)=40 db 
 
Demak, bu zvenoning xarakteristikasi koordinatalari –2 va 20K bo‟lgan nuqtadan o‟tgan –20 db dek 
og‟ishga ega bo‟lgan to‟g‟ri chiziq bo‟lib, chastota bir dekadaga ko‟payganda ordinatasi 20 db ga 
kamayadi. Shuning uchun xarakteristikaning og‟ishi –20/dek/minut 20 desibel bir dekadaga deb 
o‟qiladi. 
3. Ideal differensiallagich zveno. 
Bu zveno       E(t)=K(dx/dt)       (11)    tenglama bilan ifodalanadi. 
Bunda K- uzatish koeffisienti. 
 
Elektr sig‟imi va induktivlik hamda taxogenerator, agarda kirish kattaligi o‟qning aylanishi 
tezligi emas, burchak burilishi bo‟lsa misol bo‟la oladi.(7-rasm). 
 
(11) tenglamani Laplas bo‟yicha o‟zgartirib, zvenoning uzatish funksiyasini aniqlaymiz. 
          W(p)=KP           (12) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bundan o‟tkinchi h(t) va impulsli o‟tkinchi 

(t) funksiyalarni aniqlaymiz. 
 
h(t)= L
 -1
 

 W (p)(1/p)

=L
-1
 

KR(1/p)

= K

(t) 
(13) 
 

(t)= h
1
(t)= K

1
(t) 
(14) 
(12) ifoda “R”ni “j

” bilan almashtirib chastotali uzatish funksiyasini 
 
W (j

)=K/j

=(K/

)e
-j(

/2) 
(15) 
Hamda chastotali xarakteristikalarini aniqlaymiz(8-rasm). 
 
A
 
(

)=K

-amplituda chastotali funksiya. 
 

(

)=

/2-faza chastotali funksiya. 
 
L(

)=20lgA(

)=20lgK+20lg

-logarifmik amplituda chastotali funksiya. 
 
Shunday qilib, bu zvenoning AFX si kompleks tekisligining musbat mavhum o‟qi bilan mos 
tushib, chastota 0

 o‟zgarganda yuqoriga yo‟naladi. 

=1 va L(

)=20lgK bo‟lgan nuqtadan o‟tgan 
to‟g‟ri chiziqdir. Shuning uchun L(

) xarakteristikasining og‟ishi –20 db/dek plyus 20 desibel bir 
dekadaga deb o‟qiladi. 
 
U
тг
(у)
 
КЧ
 
i(y)
 
U(
x)
 
С
 
a)
 
U(
у
) 
L
 
i(
x) 
б
) 
i(x)
 
в
) 
π/2 
υ
(ω) 
A(
ω) 
jv(
ω) 
ω
 
ω
 
ω
=0 
U(
ω) 

 
135