Ўзбекистон республикаси

3.2. Ўзгарувчан ишорали қаторлар. Абсолют ва шартли яқинлашувчи қаторлар.

Агар қатор ҳадларининг орасида мусбатлари ҳам, манфийлари ҳам бўлса, у ҳолда бундай қатор ўзгарувчан ишорали қатор дейилади:

бунда сонлар мусбат ҳам, манфий ҳам бўлиши мумкин (ишораси навбатлашувчи қатордан фаркли).

Абсолют ва шартли яқинлашувчи қаторлар. Ўзгарувчан ишорали қаторнинг абсолют ва шартли яқинлашувчи каби муҳим тушунчаларни киритамиз.

1 – т а ъ р и ф. Ўзгарувчан ишорали

(1)

қатор ҳадлари абсолют қийматларидан тузилган

(2)

қатор яқинлашувчи бўлса, (1) абсолют яқинлашувчи қатор дейилади.

2 – т а ъ р и ф. Агар ўзгарувчан ишорали (1) қатор яқинлашувчи бўлиб, бу қаторнинг ҳадлари абсолют қийматларидан тузилган (2) қатор узоқлашувчи бўлса, у ҳолда берилган ўзгарувчи ишорали (1) қатор шартли ёки ноабсолют яқинлашувчи қатор дейилади.

2-м и с о л. Ишоралари навбатлашувчи

қатор шартли яқинлашувчи қатордир, чунки у яқинлашувчи (Лейбниц аломати бўйича), унинг ҳадлари абсолют қийматларидан тузилган

қатор эса узоқлашувчидир (гармоник қатор).

3-м и с о л. Ишоралари навбатлашувчи

1-

қатор абсолют яқинлашувчи қатордир, чунки у яқинлашувчилар (буни Лейбниц аломати бўйича текшириш осон), унинг ҳадлари абсолют қийматларидан тузилган

1+

қатор хам яқинлашувчи (курсаткичи бўлган умумлашган гармоник қатор).

Абсолют яқинлашувчи қаторнинг яқинлашиши ҳақида теорема. Ўзгарувчан ишорали қатор яқинлашувчанлигининг муҳим етарли шартини келтирамиз.

Т е о р е м а. Агар ўзгарувчан ишорали (1) қатор ҳадлари абсолют қийматларидан тузилган (2) қатор яқинлашса, у ҳолда берилган ўзгарувчан ишорали (1) қатор хам яқинлашади.

И с б о т и. ва мос равишда (1) ва (2) қаторларнинг -хусусий йиғиндилари булсин. билан барча мусбат, билан эса, хусусий йиғиндидаги барча манфий ишорали ҳадлар абсолют қийматлари йиғиндисини белгилаймиз. У ҳолда

=,

Шунга кура (2) қатор яқинлашувчи, шу сабабли йиғинди лимитга эга. ва лар эса мусбат ва усувчи, шу билан бирга < ва < (чегараланган), демак, улар хам лимитга эга:

=- муносабатдан S_n хам лимитга эга эканлиги келиб чикади:

=

Демак, ўзгарувчан ишорали қатор яқинлашади.

Абсолют яқинлашиш тушунчаси ёрдамида бу теоремани яна бундай ифодалаш мумкин: хар кандай абсолют яқинлашувчи қатор яқинлашувчи қатордир.

3-м и с о л. Ўзгарувчан ишорали

(3)

қаторнинг яқинлашишини текширинг, бунда ихтиёрий хакикий сон.

Е ч и ш . Берилган қатор билан бирга

(4)

қаторни қараймиз. Бу қаторни яқинлашувчи

1+ (5)

гармоник қатор билан таққослаймиз.

(4) қаторнинг ҳадлари (5) қаторнинг мос ҳадларидан катта эмас, шу сабабли таққослаш аломатига кура (4) қатор яқинлашувчи. Аммо у ҳолда, исботланган теоремага асосан, (3) қатор хам яқинлашувчи.