1 amaliy ish Mavzu: Kriptografiyaning matematik asosi Ishdan maqsad
Download 0.62 Mb. Pdf ko'rish
|
1-amaliy ish. Kriptografiya
- Bu sahifa navigatsiya:
- Nazariy qism
- Калитларни тўлиқ танлаш
- Келажакда нима бўлиши мумкин
- Ishni bajarilish tartibi va qo’yilgan vazifa
- Nazorat savollari
|
1 - amaliy ish Mavzu: Kriptografiyaning matematik asosi Ishdan maqsad: O’zaro tub sonlar va modul amali xossalari, sanoq sistemasi, mantiqiy amallar haqida amaliy ko’nikmalarga ega bo’lish. Nazariy qism Natural sonlar to‘plamini N ={1, 2,3, … } va butun sonlar to‘plamini Z={0, 1, 2, 3, … } ko‘rinishda belgilaymiz. Noldan farqli bo‘lgan a soni va v sonlar Z –to‘plamga tegishli, ya’ni a,b Z bo‘lib, a 0 bo‘lsin., agarda shunday s soni mavjud bo‘lib, v=as tenglik bajarilsa, u holda, a soni v sonini bo‘ladi deyiladi. Berilgan a va v sonlarni bo‘luvchi butun son, ularning umumiy bo‘luvchisi deyiladi. Umumiy bo‘luvchilar ichida eng kattasi eng katta umumiy bo‘luvchi (EKUB) deyiladi va (a, v) ko‘rinishda belgilanadi. Agarda a va v sonlarning eng katta umumiy bo‘luchisi 1, (a, v)=1 bo‘lsa, a va v sonlar o‘zaro tub deyiladi. Berilgan natural son p>1 tub deyiladi, agarda bu son o‘zi p va 1 dan boshqa natural songa bo‘linmasa. Misol uchun: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, tub sonlar, ular sanoqli va cheksiz quvvatli to‘plamni tashkil etadi. Kelgusida, barcha butun sonlarni modul (xarakteristika) deb ataluvchi biror fiksirlangan natural n soniga bo‘lganda qoladigan qoldiqlar bilan bog‘liq holda qaraymiz. Bunda cheksiz quvvatli (elementlari soni cheksiz) bo‘lgan barcha butun sonlar to‘plamiga, 0 dan n-1 gacha bo‘lgan butun sonlarni o‘z ichiga oladigan chekli, quvvati n ga teng bo‘lgan {0; 1; 2; 3;…;n-1} to‘plam mos qo‘yiladi. Bu quyidagicha amalga oshiriladi: a va n –natural sonlar bo‘lsa, “a sonini n soniga qoldiq bilan bo‘lish”, deganda ushbu
shartni qanoatlantiruvchi natural q va r sonlarini topish tushuniladi. Bu oxirgi tenglikda qoldiq deb ataluvchi r soni nolga teng bo‘lsa r=0, natural a soni n soniga bo‘linadi yoki n soni a sonining bo‘luvchisi deyiladi.
Butun a va b sonlari modul n bo‘ycha taqqoslanadigan deyiladi, agarda ularni n ga bo‘lganda qoladigan qoldiqlari teng bo‘lsa, hamda, a ≡b(mod n) deb yoziladi. Bundan esa a va b sonlar ayirmasining n ga qoldiqsiz bo‘linishi kelib chiqadi. Qoldiqni ifodalash uchun ushbu
tenglikdan foydalaniladi, hamda b=a mod n tenglikni qanoatlantiruvchi b sonini topish a sonini modul n bo‘yicha keltirish deyiladi. Biror n modul bo‘yicha qo‘shish, ayirish va ko‘paytirish amallariga nisbatan quyidagi kommutativlik, assotsiativlik va distributivlik munosabatlari o‘rinli: (a+b)mod n=((a mod n)+(b mod n))mod n, (a-b)mod n=((a mod n)-(b mod n))mod n, (a·b)mod n=((a mod n) · (b mod n))mod n, (a· (b+c)mod n=(((a·b) mod n)+(a·c) mod n))mod n. Quyida modul amallari bilan bog‘liq bir nechta misollar keltirib o‘tilgan: 1. b=a mod n tenglikda a>n>0 bo‘lgan holda, natijani hisoblash uchun a ni n ga bo‘lib, qoldig‘i olinadi. Masalan, 12mod5=2; 15mod6=3; 2. b=a mod n tenglikda n>0 va a<0 bo‘lgan holda, a ga toki yig‘inda noldan katta bo‘lgunga qadar n qo‘shiladi. Masalan, -5mod6=1; -12mod5=3; 3. b=a mod n tenglikda a kasr son bo‘lgan holda, tenglik quyidagi (b*c)modn=1 tenglikka keltiriladi. a=1/c ga teng bo‘lsa, s butun son bo‘ladi. Olingan tenglikdan b ning o‘rniga qiymat berish orqali tenglik bajaralishi tekshiriladi. Tenglik bajarilsa, unda b ga o‘zlashtiriladi. Bu usul ko‘p vaqt talab etadi. Shuning uchun amalda Evklidning kengaytirilgan aalgoritmining xususiy holidan foydalaniladi. Ushbu algoritmning ketma-ketligi quyidagicha: (e*d)modn=1 tenglikda e va n ma’lum bo‘lib, d ni topish talab etilsin. Buning uchun quyidagi belgilanishlar kiritiladi a=n va b=e. Uchta elementdan iborat bo‘lgan, uchta to‘plam quyidagicha tuziladi:
U={a, 1, 0}, V={b, 0, 1}, T={U[1]modV[1], U[2]-[U[1]/V[1]]*V[2], U[3]- [U[1]/V[1]]*V[3]}. Bu yerda dastlabki qiymatlardan U va V to‘plamlar hosil qilinadi va ular asosida T to‘plam hisoblanadi. Agar T to‘plamning birinchi elementi T[1]=1 ga teng bo‘lganda hisoblanishlar to‘xtatiladi va d=T[3] ga teng bo‘ladi. Aks holda, V to‘plamning qiymatlari U to‘plamga, T to‘plamning qiymatlari V to‘plamga o‘zlashtiriladi (U=V, V=T) va ular asosida yangidan T to‘plam hisoblanadi va yana T[1]=1 tengiligi tekshiriladi. Ushbu ketma-ketlik T[1]=1 tenglik bajarrilgunga qadar amalga oshiriladi va teng bo‘lgan holda d=T[3] deb olinadi va hisoblashlar to‘xtatiladi. Masalan, (d*8)mod23=1; a=23, b=8; U holda to‘plamlar: U={23, 1, 0}, V={8, 0, 1} va T={23mod8, 1-[23/8]*0, 0-[23/8]*1}={7, 1, -2} Demak, T[1]=1 shart bajarilmadi. U=V={8, 0, 1}, V=T={7, 1, -2}, T={8mod7, 0-[8/7]*1, 1- [8/7]*(-2)}={1, -1, 3}. Demak T[1]=1 ga teng va d=T[3]=3. Natijani: (3*8)mod23=1 tengligi bilan isbotlash mumkin. Kompyuter elektron-raqamli qurilmdir. Elektron qurilma deyilishiga sabab, har qanday ma’lumot kompyuterda elektr signallari orqali qayta ishlanadi. Raqamli deyilishiga sabab har qanday ma’lumot sonlar yordamida tasvirlanadi. Aniqroq aytganda har qanday ma’lumot kompyuterda ikkita butun son birlar va nollar yordamida tasvirlanadi va qayta ishlanadi. Shuning uchun ma’lumotlarni bunday tasvirlanishi ikkili formada tasvirlanish deb qabul qilingan. Sanoq sistemalari ma’lumotlarni kompyuterda saqlanishi va qayta ishlanishidagi asosiy tushunchalardan biri hisoblanadi. Sonlarni ma’lum sondagi raqamlar, belgilar orqali tasvirlash usullari va qoidalari majmuasiga sanoq sistemasi deb ataladi. 1.1-jadval Sanoq sistemasi 2 3
5 6 8 10 16
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 10
2 2 2 2 2 2 2 11
10 3 3 3 3 3 3 100
11 10
4 4 4 4 4 101 12 11
10 5 5 5 5
110 20
12 11
10 6 6 6 111
21 13
12 11
7 7 7 1000 22
20 13
12 10
8 8 1001 100 21
14 13
11 9 9 1010 101
22 20
14 12
10 A 1011 102 23
21 15
13 11
B 1100
110 30
22 20
14 12
C 1101
111 31
23 21
15 13
D 1110
112 32
24 22
16 14
E 1111
120 33
30 23
17 15
F 10000
121 100
31 24
20 16
10
Ikkilik sanoq sistemasida faqat ikkita: 0 va 1 raqamlaridan tashkil topgan. Shu sistemada qo‘shish, ayirish va ko‘paytirish amalari quyidagicha bajariladi (1.2-jadval). 1.2-jadval Ikkilik sanoq sistemasi ustida amallar
Qo‘shish Ayirish Ko‘paytirish 0+0=0 0-0=0
0*0=0 0+1=1
1-0=1 0*1=0
1+0=1 10-1=1
1*0=0 1+1=10
1*1=1
Sakkizlik sanoq sistemasida 1 dan 7 raqamgacha va 8 dan boshlab 10 dan boshlab davom etadigan raqamlardan tashkil topgan. Ushbu sistemada qo‘shish, ayirish va ko‘paytirish amalari quyidagicha bajariladi (1.3-jadval). 1.3-jadval Sakkizlik sanoq sistemasida qo’shish + 0 1
3 4 5 6 7 0 0 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 10
2 2 3 4 5 6 7 10
11 3 3 4 5 6 7 10
11 12
4 4 5 6 7 10 11 12
13 5 5 6 7 10 11 12
13 14
6 6 7 10 11
12 13
14 15
7 7 10 11 12
13 14
15 16
1.4-jadval Sakkizlik sanoq sistemasida ko’paytirish X 0
2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 3 4 5 6 7 1 0 1 2 4 5 6 7 10 2 0 2 4 5 6 7 10
11 3 0 3 6 6 7 10
11 12
4 0 4 10 7 10 11 12
13 5 0 5 12
10 11
12 13
14 6 0 6 14
11 12
13 14
15 7 0 7 16
12 13
14 15
16
O’n oltillik sanoq sistemasida 1 dan 9 raqamg va A dan F gacha harflardan tashkil topgan. Ushbu sistemada qo‘shish, ayirish va ko‘paytirish amalari quyidagicha bajariladi (6-jadval). 1.5-jadval O’n oltillik sanoq sistemasida qo’shish + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B
C D E F 10
2 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11
3 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12
4 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10
11 12
13 5 5 6 7 8 9 A B C D E F
10 11
12 13
14 6 6 7 8 9 A B C D E F 10
11 12
13 14
15 7 7 8 9 A B C D E F 10 11
12 13
14 15
16 8 8 9 A B C D E F 10 11 12
13 14
15 16
17 9 9 A B C D E F 10 11 12 13
14 15
16 17
18 A A B C D E F 10 11 12 13 14
15 16
17 18
19 B B C D E F 10 11 12 13 14 15
16 17
18 19
1A C C D E F 10 11 12 13 14 15 16
17 18
19 1A 1B
D D E F 10 11 12 13 14 15
16 17 18
19 1A 1B 1С E E F 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19
1A 1B 1С 1D F F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
1A 1B 1C 1D 1E
1.6-jadval O’n oltilik sanoq sistemasida ko’paytirish x 1
2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 2 2 4 6 8 A C E 10 12 14 16 18 1A 1C 1E 3 3 6 9 C F 12 15 18 1B 1E 21 24 27 2A 2D 4 4 8 C 10 14 18 1C 20 24 28 2C 30 34 38 3C 5 5 A F 14 19 1E 23 28 2D 32 37 3C 41 46 4B 6 6
12 18 1E 24 2A 30 36 3C 42 48 4E 54 5A 7 7 E 15 1C 23 2A 31 38 3F 48 4D 54 5B 62 69 8 8 10 18 20 28 30 38 40 48 50 58 60 68 70 78 9 9 12 1B 24 2D 36 3F 48 51 5A 63 6C 75 7E 87 A A 14 1E 28 32 3C 46 50 5A 64 6E 78 82 8C 96 B B 16 21 2C 37 42 4D 58 63 6E 78 84 8F 9A A5 C C 18 24 30 3C 48 54 60 6C 78 84 90 9C A8 B4 D D 1A 27 34 41 4E 5B 88 75 82 8F 90 A9 B6 C3 E E 1C 2A 38 46 54 62 70 7E 8C 9A A8 B6 C4 D2 F F 1E 2D 2C 4B 5A 69 78 87 96 A5 B4 C3 D2 E1 Mantiqiy amallar Protsessor tarkibidagi arifmetik-mantiqiy qurilmaning ishlash prinsipini tushunish uchun avval insonning mantiqiy fikrlash va xulosa chiqarish usullarini ko’rib chiqamiz. Insonlar kundalik hayotda o’zaro muloqot qilish uchun turli mulohazalardan foydalanishadi. Ma’lumki, mulohaza – narsa yoki hodisalarning xususiyatini anglatuvchi darak gapdir. Boshqacha aytganda, mulohaza – rost yoki yolg’onligi haqida so’z yuritish mumkin bo’lgan darak gap. Mulohazalar sodda va murakkab bo‘lishi mumkin. Biror shart yoki usul bilan bog‘lanmagan hamda faqat bir holatni ifodalovchi mulohazalar sodda mulohazalar deyiladi. Sodda mulohazalar ustida amallar bajarib, murakkab mulohazalarni hosil qilish mumkin. Odatda murakkab mulohazalar sodda mulohazalardan “VA”, “YОKI” kabi bog‘lovchilar, “EMAS” shaklidagi ko‘makchilar yordamida tuziladi. Mulohazalarni lotin alifbosi harflari bilan belgilash (masalan, A= “Bugun havo issiq”) qabul qilingan. Har bir mulohaza faqat ikkita: “rost” yoki “yolg‘on” mantiqiy qiymatga ega bo‘lishi mumkin. Qulaylik uchun “rost” qiymatni 1 raqami bilan, “yolg‘on” qiymatni esa 0 raqami bilan belgilab olamiz. A va B sodda mulohazalar bir paytda rost bo‘lgandagina rost bo‘ladigan yangi (murakkab) mulohazani hosil qilish amali mantiqiy ko‘paytirish amali deb ataladi. Bu amalni konyunksiya (lot. conjunctio– bog’layman) deb ham atashadi. Mantiqiy ko‘paytirish amali ikki yoki undan ortiq sodda mulohazalarni “VA” bog‘lovchisi bilan bog‘laydi hamda “A va B” , “A and B” , “A Λ B” , “A · B” kabi ko‘rinishda yoziladi. Mantiqiy ko‘paytirishni ifodalaydigan quyidagi jadval rostlik jadvali deb ataladi: 1.7-jadval Mantiqiy ko’paytirish amali A B
1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 A va B mulohazalarning kamida bittasi rost bo‘lganda rost bo‘ladigan yangi murakkab mulohazani hosil qilish amali mantiqiy qo‘shish amali deb ataladi. Bu amalni dizyunksiya (lot. disjunctio – ajrataman) deb ham atashadi Mantiqiy qo‘shish amali ikki yoki undan ortiq sodda mulohazalarni “YOKI” bog‘lovchisi bilan bog‘laydi hamda va “A yoki B”, “A or B” , “A V B”, “A + B” kabi ko‘rinishlarda yoziladi. 1.8-jadval Mantiqiy qo‘shish amali A B
1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 A mulohaza rost bo‘lganda yolg‘on, yolg‘on bo‘lganda esa rost qiymat oladigan mulohaza hosil qilish amali mantiqiy inkor amali deb ataladi. Bu amalni inversiya (lot. Inversio – to’ntaraman) deb ham atashadi Mantiqiy inkor amali “A EMAS” , “not A” , “ ᒣ A” , “” ko‘rinishlarda yoziladi. 1.9-jadval Mantiqiy inkor amali A ᒣ A
1 0 0 1 Ko‘rinib turibdiki, mantiqiy o‘zgaruvchilar, munosabatlar, mantiqiy amallar va qavslar yordamida mantiqiy ifodalar hosil qilish mumkin ekan. Mantiqiy ifodalarda mantiqiy amallar quyidagi tartibda bajariladi: inkor (¬), mantiqiy ko ’ paytirish ( Λ ), mantiqiy qo ’ shish (v). Teng kuchli yoki bir xil amallar ketma-ketligi bajarilayotganda amallar chapdan o‘ngga qarab tartib bilan bajariladi, ifodada qavslar ishtirok etganda dastlab qavslar ichidagi amallar bajariladi. Ichma-ich joylashgan qavslarda eng ichkaridagi qavs ichidagi amallar eng avval bajariladi. Mantiqiy amallarga doir misollar : 1–misol. A mulohaza rost qiymat qabul qilsa, “A va (A EMAS)” mulohazaning qiymatini aniqlang. Yechish. A rost qiymat qabul qilganligi uchun (A EMAS) yolg‘on qiymatga ega bo‘ladi. U holda rost va yolg‘on qiymatlarning ko‘paytmasidan (“VA” amali) yolg‘on natijaga ega bo‘lamiz. Shunday qilib, javob “yolg‘on” ekan. 2–misol. A va B mulohazalar rost qiymat qabul qilganda A Λ B V A mulohazaning qiymatini aniqlang. Yechish. A va B mulohazalar rost qiymatli bo‘lganligi uchun A Λ B amal rost qiymat qabul qiladi. U holda jadvalga ko‘ra ikkita rost qiymatni mantiqiy qo‘shishdan rost qiymat hosil bo‘ladi. Javob: rost. 3–misol. (Е > D) Λ A Λ ᒣB mantiqiy ifodaning qiymatini D = 3,2 va E = – 2,4, A = “rost” va B = “rost” bo’lganda hisoblang. Yechish. (–2,4 >3,2) munosabat noto‘g‘ri bo‘lganligidan bu mulohaza “yolg‘on” bo‘ladi. Demak, A mulohazaning qiymati “rost” bo’lsa ham (Е > D) Λ A mulohaza qiymati “yolg‘on” bo’ladi. B mulohazaning qiymati “rost”, shuning uchun ᒣB mulohaza “yolg‘on” qiymatli bo‘ladi. U holda (Е > D) Λ A Λ ᒣB mantiqiy ifoda “yolg‘on” qiymat qabul qiladi. Javob: yolg‘on. Калитларни тўлиқ танлаш Ахборотнинг энг кичик фундаментал бирлиги бу бит. У 1 ёки 0 қиймат қабул қилиши мумкин. Компютерлар бинар маълумотлар билан ишлайди, яъни битлар оқими билан. Барча, компютер орқали ўтадиган маълумотлар бит кўринишига ўтказилади. 8 бит 1 байтни ифодалайди ва бу 256 та комбинацияни беради ва 0 дан 255 гача бўлган белгини кодлаш имконини беради. Маълумотларга электрон рақамли имзо чекиш ва шифрлаш каби криптографик амалларни фақат баъзи бир сирларга эга бўлган шахслар амалга ошириши мумкин. Ўтган асрларда ушбу сир, маълумотларни ўзгартириш усулини ўзи бўлган. Дарҳақиқат алгоритмни сир тутиш муаммоли бўлиб, қўшимча равишда унинг хавфсизлигини рақамли баҳолашни талаб этади. Алгоритмни оммавий эълон қилишнинг ўзи криптографик ҳамжамият томонидан унинг ишончлилигини “бепул” қабул қилишга имкон беради. Шундай қилиб калит сирнинг асосий консентрацияси ва бу битлар тўплами махфийликнинг “моҳияти”дир. Крипотизимни бузиш, якуний маълумотни билмаган ҳолда, калитни билишни талаб қиладиган баъзи амалларни бажаришни англатади. Энг тўлиқ бузиш бу – бузғунчига калит маълум бўлганда, калитнинг ҳақийқий эгаси билан бир хил ваколат берадиган бузиш усулидир. Калитларни тўлиқ танлаш усули келтирилган назариянинг энг оддий усулидир: бу тўғри бўлган калит топулмагунча барча калитларни бирма бир синаб кўришдир. Ушбу усул умумий ёки параллел ҳолда амалга оширилиши мумкин (ҳисоб китобларни кўплаб машиналарга тақсимлаш мумкин). Статистика нуқтаи назардан, тўғри калитни топилгунча бўлиши мумкин бўлган калитларнинг ярмидан кўпини синаб кўриш керак. Агар калитнинг узунлиги 56 бит бўлса, демак ўртача 2 55
яъни 36028797018963968 такрорланиш керак бўлади. 128 битли калит 64 битли калитга қараганда икки марта бардошлими? Йўқ бу кенг тарқалган ҳато ҳисобланади. Ҳар бир қўшимча бит мумкин бўлган калитларнинг сонини ва тўлиқ танлашга кетган вақтни оширади. 128 битли калит 64 битли калитга қараганда 18446744073709551616 марта кучлироқ кучга эга.
Айтайлик Триди тезкор компютерга эга, улар ҳар сониясига 2 40 калитни синаб кўриш имконига эга. • Бу дегани агар калит ўлчами 2 56 бўлса, калитни топиш учун 2 16 сония
(18 соат) талаб қилади. • 2 64
ўлчамдаги калит бўлса, ярим йилдан кўпроқ вақт кетади. • 2
128 ўлчамдаги калит бўлса, 10 30 йил талаб қилинади. • 2 88 ўлчамдаги калит бўлса, 8900 минг йиллик талаб қилинади. Келажакда нима бўлиши мумкин Мур қонуни – вақт ўитиши билан ҳисоблаш машинасини евалютсиясини баҳолашдир. Унинг асосий назарисида маълум бир ҳаражат учун (кенг маънода, шу жумладан энергия сарфи, асбоб ускуналарни ишлаб чиқариш, эскириши, сақлаш муддати ва бошқалар) ҳисоблаш қуввати ҳар 3 йилда 8 марта кўпайишини таъкидлайди. Аниқроғи, айтиш мумкинки, ҳар 3 йилда бир марта технологик ютуқлар маълум миқдораги микросхемада 4 баробар кўпроқ мантиқий элементларни жойлаштириш имконини беради, шу билан бирга унинг тезлигини 2 баробар оширади.
Sonning moduli, sanoq sistemasiga oid misollar berilgan bo‘lib unda talabalar o’zning tartib raqamida berilganlarni bajarilsin va qadamma – qadam izohlansin.
T.J.R
Modulning xususiyatlari n>0 va a<0 holda b=a mod n ni toping ? (e*d)modn=1 у va n
berilgan holda d ni toping? X 2 - >Y 10
X 8 - >Y 10
X 16 - >Y
10
1. a=3; b=-4; c=5; n=8; a=-45;
n=7; n=17;
e=2; 11010110 3261 4BA
2.
a=6; b=-7; c=8; n=8; a=-54;
n=8; n=19;
e=4; 10101011 2512 1AF
3.
a=12; b=-21; c=13; n=8; a=-5;
n=60; n=17;
e=3; 10110110 2674 AA4
4.
a=14; b=-12; c=13; n=8; a=-55;
n=21; n=23;
e=4; 10001010 2713 B1A
5.
a=15; b=-16; c=17; n=8; a=-56;
n=50; n=23;
e=6; 11011011 3054 9A4
6.
a=51; b=-21; c=12; n=8; a=-52;
n=105; n=23;
e=12; 10011101 2751 AA8
7.
a=51; b=-10; c=53; n=8; a=-55;
n=4; n=23;
e=2; 11010111 2517 2BA
8.
a=89; b=-10; c=56; n=8; a=-63;
n=6; n=29;
e=6; 11100110 3012 2DA
9.
a=11; b=-12; c=13; n=8; a=-36;
n=89; n=29;
e=5; 11100111 3232 1AC
10.
a=45; b=-54; c=5; n=8; a=-65;
n=56; n=31;
e=4; 10101010 2677 8BA
11.
a=5; b=-96; c=69; n=8; a=-89;
n=98; n=31;
e=8; 11111111 3134 EAC
12.
a=52; b=-5; c=5; n=8; a=-89;
n=21; n=17;
e=9; 11111110 2513 CA1
13.
a=9; b=-8; c=5; n=8; a=-100;
n=33; n=50;
e=17; 10110110 3171 B2A
14.
a=12; b=-15; c=18; n=8; a=-102;
n=25; n=37;
e=19; 11110000 2739 1BA
15.
a=40; b=-42; c=30; n=8; a=-104;
n=23; n=41;
e=7; 10111111 2615 AA9
16.
a=50; b=-9; c=61; n=8; a=-67;
n=23; n=41;
e=6; 11111100 3146 31D
17.
a=8; b=-9; c=15; n=8; a=-47;
n=3; n=43;
e=4; 10111011 2730 FA1
18.
a=56; b=-65; c=20; n=8; a=-89;
n=12; n=43;
e=11; 11110011 3025 E2A
19.
a=40;b=-50; c=10; n=8; a=-45;
n=24; n=47;
e=8; 11011111 2519 1AE
20.
a=2; b=-3; c=5; n=8; a=-74;
n=69; n=47;
e=6; 11111010 3112 B1D
21.
a=52;b=-63; c=41; n=8; a=-105;
n=501; n=61;
e=31; 10111000 2740 2AD
22.
a=78; b=-8; c=5; n=8; a=-91;
n=19; n=67;
e=17; 11110101 2614 7BA
23.
a=7; b=-8; c=41; n=8; a=-58;
n=85; n=67;
e=4; 11011000 3024 E2D
Nazorat savollari 1. O’zaro tub sonlar, tub sonlarga ta’rif bering va misollar keltiring. 2. Modul amali xossalarini misol orqali tushuntiring. 3. Butun sonlar va ularni kriptografiyada foydalanilishi. Download 0.62 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|