1. Funksiyaning monotonligi, kritik va ekstremum nuqtalari

Funksiyaning monotonligi, kritik va ekstremum nuqtalari. Funksiya grafigining botiqligi va qavariqligi, burilish nuqtalari, asimtotalari. Funksiyani to‘la tekshirish. Differensial hisobning amaliy masalalarda qo‘llanilishi


Reja:
1. Funksiyaning monotonligi, kritik va ekstremum nuqtalari.
2. Funksiya grafigining botiqligi va qavariqligi, burilish nuqtalari, asimtotalari.
3. Funksiyani to`la tekshirish va grafigini yasash
4. . Funksiyani to‘la tekshirish

1. Egri chiziqning qavariqligi va botiqligi. Egri chiziqning burilish nuqtasi.

Aytaylik f(x) funksiya x=x₀ nuqtada f`(x<sub>0</sub>) hosilaga ega, ya`ni funksiya grafigining M(x₀,f(x₀)) nuqtasidan novyertikal urinma o`tkazish mumkin bo`lsin.

Ta`rif. Agar x=x<sub>0</sub> nuqtaning shunday atrofi mavjud bo`lib, y=f(x) egri chiziqning bu atrofdagi nuqtalarga mos bo`lgan bo`lagi shu egri chiziqqa M(x₀,f(x₀)) nuqtasidan o`tkazilgan urinmadan pastda (yuqorida) joylashsa, u holda f(x) funksiya x=x<sub>0</sub> nuqtada qavariq (botiq) deyiladi.
Agar egri chiziq biror intervalning barcha nuqtalarida qavariq (botiq) bo`lsa, u holda bu chiziq shu intervalda qavariq (botiq) deyiladi. 33-rasmda qavariq va 34-rasmda botiq egri chiziqlar chizilgan.

E gri chiziq nuqtasining ordinatasini y bilan, shu egri chiziqqa M(x₀,f(x₀)) nuqtasida o`tkazilgan urinmaning x ga mos ordinatasini Y bilan belgilaylik. Ravshanki, agar x<sub>0</sub> nuqtaning biror atrofidan olingan barcha x lar uchun y-Y £ 0 (y-Y ³ 0) tengsizlik o`rinli bo`lsa, u holda egri chiziq x=x<sub>0</sub> nuqtada qavariq (botiq) bo`ladi. (35-,36-rasmlar)
1-teorema. Faraz qilaylik, f(x) funksiya X oraliqda aniqlangan va x₀ÎX nuqtada ikkinchi tartibli hosilasi mavjud bo`lsin. Agar f``(x<sub>0</sub>)>0 bo`lsa, u holda funksiya grafigi x₀ nuqtada botiq; agar f``(x<sub>0</sub>)<0 bo`lsa, u holda funksiya grafigi x<sub>0</sub> nuqtada qavariq bo`ladi.
Isboti. Faraz qilaylik f``(x₀)>0 bo`lsin. Quyidagicha yordamchi funksiya kiritamiz: F(x)=y-Y, ya`ni F(x)=f(x)-f(x₀)-f`(x<sub>0</sub>)(x-x<sub>0</sub>). Ravshanki F(x<sub>0</sub>)=0, F`(x)=f`(x)-f`(x₀), F``(x)=f``(x) bo`ladi. Bundan F`(x₀)=f`(x<sub>0</sub>)-f`(x₀)=0 va F``(x<sub>0</sub>)=f``(x₀)>0 ekanligi kelib chiqadi. Demak, (ekstremum mavjudligining yetarli shartiga ko`ra) x<sub>0</sub> nuqta F(x) funksiyaning minimum nuqtasi bo`ladi, ya`ni x<sub>0</sub> nuqtaning biror atrofida F(x)³F(x<sub>0</sub>)=0 bo`ladi. F(x)=y-Y bo`lganligidan y³Y tengsizlik o`rinli bo`ladi. Bu esa x<sub>0</sub> nuqtaning aytilgan atrofida funksiya grafigi urinmadan yuqorida joylashishini, ya`ni funksiya grafigi x₀ nuqtada botiq bo`ladi. Teoremaning ikkinchi qismi shunga o`xshash isbotlanadi.
Agar biror intervalda f``(x)>0 ( f``(x)<0 ) bo`lsa, u holda y=f(x) egri chiziq shu intervalda botiq (qavariq) bo`ladi.
M isol. Ushbu y=x⁵ funksiya grafigining botiqlik, qavariqlik oraliqlarini aniqlang.
Yechish. Funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasini topamiz: y``=20x<sup>3</sup>. Bundan, agar x>0 bo`lsa, y``>0, agar x<0 bo`lsa y``<0 bo`ladi. Demak, (-¥;0) oraliqda egri chiziq qavariq, (0;+¥) oraliqda esa botiq bo`ladi.