1. Funksiyaning monotonligi, kritik va ekstremum nuqtalari


Download 417.5 Kb.
bet1/5
Sana07.04.2023
Hajmi417.5 Kb.
#1340329
  1   2   3   4   5
Bog'liq
Funksiyaning monotonligi, kritik va ekstremum nuqtalari.


Funksiyaning monotonligi, kritik va ekstremum nuqtalari. Funksiya grafigining botiqligi va qavariqligi, burilish nuqtalari, asimtotalari. Funksiyani to‘la tekshirish. Differensial hisobning amaliy masalalarda qo‘llanilishi


Reja:
1. Funksiyaning monotonligi, kritik va ekstremum nuqtalari.
2. Funksiya grafigining botiqligi va qavariqligi, burilish nuqtalari, asimtotalari.
3. Funksiyani to`la tekshirish va grafigini yasash
4. . Funksiyani to‘la tekshirish

1. Egri chiziqning qavariqligi va botiqligi. Egri chiziqning burilish nuqtasi.

Aytaylik f(x) funksiya x=x0 nuqtada f`(x0) hosilaga ega, ya`ni funksiya grafigining M(x0,f(x0)) nuqtasidan novyertikal urinma o`tkazish mumkin bo`lsin.


Ta`rif. Agar x=x0 nuqtaning shunday atrofi mavjud bo`lib, y=f(x) egri chiziqning bu atrofdagi nuqtalarga mos bo`lgan bo`lagi shu egri chiziqqa M(x0,f(x0)) nuqtasidan o`tkazilgan urinmadan pastda (yuqorida) joylashsa, u holda f(x) funksiya x=x0 nuqtada qavariq (botiq) deyiladi.
Agar egri chiziq biror intervalning barcha nuqtalarida qavariq (botiq) bo`lsa, u holda bu chiziq shu intervalda qavariq (botiq) deyiladi. 33-rasmda qavariq va 34-rasmda botiq egri chiziqlar chizilgan.

E gri chiziq nuqtasining ordinatasini y bilan, shu egri chiziqqa M(x0,f(x0)) nuqtasida o`tkazilgan urinmaning x ga mos ordinatasini Y bilan belgilaylik. Ravshanki, agar x0 nuqtaning biror atrofidan olingan barcha x lar uchun y-Y £ 0 (y-Y ³ 0) tengsizlik o`rinli bo`lsa, u holda egri chiziq x=x0 nuqtada qavariq (botiq) bo`ladi. (35-,36-rasmlar)
1-teorema. Faraz qilaylik, f(x) funksiya X oraliqda aniqlangan va x0ÎX nuqtada ikkinchi tartibli hosilasi mavjud bo`lsin. Agar f``(x0)>0 bo`lsa, u holda funksiya grafigi x0 nuqtada botiq; agar f``(x0)<0 bo`lsa, u holda funksiya grafigi x0 nuqtada qavariq bo`ladi.
Isboti. Faraz qilaylik f``(x0)>0 bo`lsin. Quyidagicha yordamchi funksiya kiritamiz: F(x)=y-Y, ya`ni F(x)=f(x)-f(x0)-f`(x0)(x-x0). Ravshanki F(x0)=0, F`(x)=f`(x)-f`(x0), F``(x)=f``(x) bo`ladi. Bundan F`(x0)=f`(x0)-f`(x0)=0 va F``(x0)=f``(x0)>0 ekanligi kelib chiqadi. Demak, (ekstremum mavjudligining yetarli shartiga ko`ra) x0 nuqta F(x) funksiyaning minimum nuqtasi bo`ladi, ya`ni x0 nuqtaning biror atrofida F(x)³F(x0)=0 bo`ladi. F(x)=y-Y bo`lganligidan y³Y tengsizlik o`rinli bo`ladi. Bu esa x0 nuqtaning aytilgan atrofida funksiya grafigi urinmadan yuqorida joylashishini, ya`ni funksiya grafigi x0 nuqtada botiq bo`ladi. Teoremaning ikkinchi qismi shunga o`xshash isbotlanadi.
Agar biror intervalda f``(x)>0 ( f``(x)<0 ) bo`lsa, u holda y=f(x) egri chiziq shu intervalda botiq (qavariq) bo`ladi.
M isol. Ushbu y=x5 funksiya grafigining botiqlik, qavariqlik oraliqlarini aniqlang.
Yechish. Funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasini topamiz: y``=20x3. Bundan, agar x>0 bo`lsa, y``>0, agar x<0 bo`lsa y``<0 bo`ladi. Demak, (-¥;0) oraliqda egri chiziq qavariq, (0;+¥) oraliqda esa botiq bo`ladi.

Download 417.5 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3   4   5




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling