1. Hosila tushunchasi. Hosilaning geometrik va mexanik ma’nosi. Murakkab va teskari funksiyaning hosilasi

5-MA’RUZA
Hosila tushunchasi. Funksiya hosilasini hisoblash. Yuqori tartibli hosila.


R e j a
1. Hosila tushunchasi.
2. Hosilaning geometrik va mexanik ma’nosi.
3. Murakkab va teskari funksiyaning hosilasi.
4. Oshkormas ko’rinishda berilgan funksiyaning hosilalari.
5. Yuqori tartibli hosilalar.
6. Parametrik ko’rinishdagi funksiyaning hosilasi.
1. Hosila tushunchasi
y=f(x) funksiya x nuqta va uning biror atrofida aniqlangan bo'lsin (nuqtaning atrofi deb shu nuqtani o'z ichiga oluvchi yetarlicha kichik radiusli oraliqqa aytiladi.
x-argumentning shunday orttirmasiki, x+x nuqta x nuqtaning atroflicha tegishli bo'ladi: f esa funksiyaning shu orttirmaga mos ottirmasi, ya'ni f=f(x+x) bo'lsin.
Ta'rif: Agar funksiya f orttirmasining argumentning x orttirmasiga bo'lgan nisbataning argument orttirmasi nolga intilgandagi limiti mavjud bo'lsa, y=f(x) funksiya x nuqtada differeksiallanuvchi funksiya deyiladi. Bu limitning qiymati y=f(x) funksiyaning x nuqtadagi hosilasi deyiladi va f'(x), y' ko'rinishda belgilanadi, ya'ni
.
Bu yerda f'(x) yangi funksiya bo'lib, yuqoridagi limit mavjud bo'lgan barcha nuqtalarda aniqlangan.
1-Misol. y=x³ funksiya hosilasini toping.
Yechish. 1) f(x)=x³ 2) f(x+x)=(x+x)³;
3)
4)
5) demak .

2. 
   Hosilaning geometrik va fizik ma’nolari. Urinma va normal tenglamalari
   

Yuqorida biz, agar y=f(x) funksiya grafigining M₀(x₀;f(x₀)) nuqtasida urinma o‘tkazish mumkin bo‘lsa, u holda urinmaning burchak koeffitsienti k_urinma= ekanligini ko‘rsatgan edik. Bundan hosilaning geometrik ma’nosi kelib chiqadi:
y=f(x) funksiya grafigiga abssissasi x=x₀ bo‘lgan nuqtasida o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsienti hosilaning shu nuqtadagi qiymatiga teng k_urinma=f’(x₀).
Faraz qilaylik y=f(x) funksiya x=x₀ nuqtada uzluksiz va f’(x₀)=+¥ bo‘lsin. U holda funksiya grafigi abssissasi x=x₀ nuqtada vyertikal urinmaga ega bo‘lib, unga nisbatan funksiya grafigi 1–rasmda ko‘rsatilgandek joylashadi.

1-rasm 2-rasm
Xuddi shu kabi f’(x₀)=-¥ bo‘lganda ham x=x₀ nuqtada funksiya grafigi vyertikal urinmaga ega bo‘ladi, funksiyaning grafigi urinmaga nisbatan2–rasmda ko‘rsatilgandek joylashadi.
Agar f’(x₀+0)=+¥ va f’(x₀-0)=-¥ bo‘lsa, u holda funksiya grafigining x=x₀ nuqta atrofida 2-rasmda tasvirlangandek bo‘ladi. Xuddi shunga o‘xshash, f’(x₀+0)=-¥ va f’(x₀-0)=+¥ bo‘lganda, funksiya grafigi x=x₀ nuqta atrofida 1–rasmdagidek ko‘rinishda bo‘ladi. Bunday hollarda (x₀,f(x₀)) nuqtada urinma mavjud, ammo hosila mavjud emas.