5-mavzu. Hosila tushunchasi va misollar. Hosilani hisoblash. Yuqori tartibli hosila. Oshkormas va parametrik funksiyalar hosilasini hisoblash. Teskari funksiya hosilasi

5-mavzu. Hosila tushunchasi va misollar. Hosilani hisoblash. Yuqori tartibli 

hosila. Oshkormas va parametrik  funksiyalar hosilasini hisoblash.Teskari 

funksiya hosilasi. 

 

 

Reja: 

1.  Hosila haqida tushuncha.   

2.  Funktsiya differentsiali. 

3.  Hosila va differentsialning geometrik va fizik ma‘nolari. 

4.  Differesiallash qoidalari 

5.  Elementar funktsiyalarning hosilalarining jadvali. 

6.  Murakkab funktsiyaning hosilasi va differentsiali. 

7.  Teskari funktsiya hosilasi. 

8.  Parametli funktsiyaning hosilasi. 

 

Tayanch  so‘z  va  iboralar:  hosila,  birinchi  tartibli  hosila,  bir  tomonlama 

hosila,  differentsiallanuvchi  funktsiya,  birinchi  tartibli  differentsiai,  ishlab 

chiqarish  funktsiyasi,  limit  mahsulot,  limit  xarajatlar,  elastiklik  koeffitsienti, 

yig‘indining  hosilasi  va  differentsiali,  ko‘paytmaning  hosilasi  va  differentsiali, 

bo‘linmaning hosila va differentsiali, murakkab funktsiya hosilasi va differentsiali, 

murakkab  funktsiya  birinchi  tartibli  differentsialining  invariantligi,  logarifm 

differentsiallash,  yuqori  tartibli  hosilalar  va  differentsiallar,  teskari  funktsiya 

hosilasi. 

 

Amaliyotda, jumladan, iqtisodiyotda muhum ahamiyatga ega bo’lgan hosila 

va differensial tushunchalarini kiritamiz.  

Buning  uchun  funksiya 

0

x

  nuqta  va  uning  biror  bir 

0





  atrofida 

aniqlangan bir o’zgaruvchili 

)

(x

f

y



 funksiyani qaraymiz.  

1-ta’rif.  Agar 

)

(x

f

y



  funksiyaning 

0

x

x



  nuqtadagi 

0

( )

y

f x

  

 

orttirmasining  argument  orttirmasi  –  x



  ga  nisbati  x



  nolga  intilgandagi  limiti 

mavjud  va  chekli  bo’lsa,  u  holda    bu  limitga

)

(x

f

  funksiyaning 

0

x

  nuqtadagi 

hosilasi deb, 

)

(x

f

 funksiya 

0

x

 nuqtada hosilaga ega deyiladi. 

)

(x

f

y



 

funksiyaning 

0

x

 

nuqtadagi 

hosilasi: 

0

0

(

),

( ),

f x

y x





 

0

0

( )

( )

,

df x

dy x

dx

dx

 ifodalarning biri orqali yoziladi. 

Ta’rifga ko’ra,  

0

0

0

0

(

)

(

)

(

)

lim

x

f x

x

f x

f x

x

 

  







 

 

 

(1) 

2-ta’rif. 

Agar 

)

(x

f

 

funksiya 

0

x

 

nuqtada 

uzluksiz 

bo’lib, 

0

0

0

(

)

(

)

lim

x

f x

x

f x

x

 

  

 



  bo’lsa,  u  holda 

)

(x

f

  funksiyaning 

0

x

  nuqtadagi 

hosilasi chegaralanmagan deyiladi. 

0 0

0

0

(

)

(

)

lim

x

f x

x

f x

x

  

  



, 

0 0

0

0

(

)

(

)

lim

x

f x

x

f x

x

  

  



 

limitlarga, mos ravishda, 

)

(x

f

 funksiyaning 

0

x

 nuqtada chap va o’ng hosilalari 

deyiladi.  Bu  hosilalarni  mos  ravishda 

0

0

(

),

(

)

f x

f

x









ko’rinishda  belgilash 

mumkin. 

Ta’rifga asosan hosila olishning umumiy qoidasini keltiramiz: 

1.  Funksiya 

(

)

( )

y

f x

x

f x

 

  

 orttirmasini topamiz. 

2. 

(

)

( )

y

f x

x

f x

x

x



  







 nisbatni hisoblaymiz. 

3. 

0

(

)

( )

lim

x

f x

x

f x

x

 

  



 limitni topamiz. 

1-misol. 

ln

y

x



  funksiya hosilasini ta’rifga asosan hisoblaymiz: 

1. 

(

)

( )

ln(

)

ln

ln 1

x

y

f x

x

f x

x

x

x

x







 

  



  













. 

2. 

1

(

)

( )

1

ln 1

ln 1

x

y

f x

x

f x

x

x

x

x

x

x

x





  













































. 

3. 

1

1

0

0

0

(

)

( )

1

1

lim

lim ln 1

lim ln

1

x

x

x

x

x

x

x

f x

x

f x

x

x

x

x

x

x





 

 

 

















  

























































. 

2-misol. 

n

y

x



 

funksiya 

hosilasini 

ta’rifga  asosan  hisoblaymiz: 

1

1

2

2

2

1 1

1

1.

(

)

( )

(

)

(

)

...

(

)

.

n

n

n

n

n

n

n

n

n

y

f x

x

f x

x

x

x

C x

x

C x

x

C

x

x









 

  



 







 



 



 

1

1

2

2

1

2

(

)

( )

2.

...

(

)

.

n

n

n

n

n

n

n

y

f x

x

f x

C x

C x

x

C

x

x

x

x











  







  







 

0

0

1

1

2

2

1

2

1

1

0

(

)

( )

3. lim

lim

lim[

...

(

)

]

.

x

x

n

n

n

n

n

n

n

n

n

x

f x

x

f x

y

x

x

C x

C x

x

C

x

x

C x

 

 











 

  















  





 

Bu yerda 

1

n

C

n



 bo’lgani uchun 

1

.

n

y

nx



 

 

Berilgan 

)

(x

f

  funksiyaning  hosilasini  topish  amali  ko’p  hollarda 

)

(x

f

 

funksiyani differensiallash deb yuritiladi. 

3-ta’rif. 

Agar 

)

(x

f

y



 

funksiyaning 

0

x

 

nuqtadagi 

0

0

(

)

(

)

y

f x

x

f x

 

  

 orttirmasini  

0

(

)

(

)

y

A x

x

o

x

 

  

   

 

 

(2) 

 ko’rinishda  tasvirlash  mumkin  bo’lsa  (bu  yerda 

0

(

)

A x



o’zgarmas),  u  holda 

)

(x

f

y



 funksiya 

0

x

 nuqtada differensiallanuvchi deyiladi. 

Agar 

)

(x

f

 funksiya 

( )

D f  sohaning barcha nuqtalarida differensiallanuvchi 

bo’lsa, u holda 

)

(x

f

 funksiya 

( )

D f  sohada differensiallanuvchi deyiladi. 

x



 va  y



 miqdorlar cheksiz kichik miqdorlar bo’lgani uchun ko’p hollarda 

x



 ni 

dx   y



 ni esa  dy  ko’rinishda yozib olib (2) formulani 

0

(

)

(

)

dy

A x d x

o d x





 

ko’rinishga keltirib olamiz. 

Masalan,   

3

x

y



  funksiya 

x

  ning  ixtiyoriy  qiymatida  differensiallanuvchi, 

chunki 





   

 

3

2

3

3

2

2

3

3

3

.

y

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

o

x

 

 





 



 



 



 

4-ta’rif. 

 

x

f

y



 funksiyaning 

0

x

 nuqtadagi differensiali deb, shu nuqtada 

funksiya  dy  orttirmasining argument 

x

d

 orttirmasiga nisbatan  A dx  bosh chiziqli 

qismiga aytiladi va  y

d

 yoki 

 

0

x

f

d

 yozuv bilan belgilanadi. 

Demak, ta’rifga binoan,  dy

A dx



. 

1-teorema.  Agar 

 

f x   funksiya 

0

x

  nuqtada  differensiallanuvchi  bo’lsa,  u 

holda bu funksiya shu nuqtada uzluksizdir. 

 

f x   funksiyaning 

0

x

  nuqtada  uzluksizligi  uning  shu  nuqtada  

differensiallanuvchi  funksiya  bo’lishi  uchun  zaruriy  shart  hisoblanadi,  ammo 

yetarli shart bo’la olmaydi. 

Masalan, 

x

e

y



 

funksiya 

0



x

 

nuqtada 

uzluksiz, 

ammo 

differensiallanuvchi emas. 

2-teorema. 

 

x

f

y



  funksiyaning 

0

x

  nuqtada  chekli  hosilaga  ega  bo’lishi 

uning shu nuqtada differensiallanuvchi bo’lishi uchun zarur va yetarlidir. 

Demak, 

 

 

 

0

0

0

A x

f

x

dy

f

x

dx







  



 munosabat o’rinli.  

Masalan, 

3

x

y



 funksiyaning ixtiyoriy 

R

x



 nuqtadagi differensiali, chunki 

 

3

2

3

.

d y

x

dx

x dx







 

Agar 

(

)

y

d y

o

x

 





  tenglikda 

x



  yetarlicha  kichik  bo’lsa,  taqribiy 

hisoblarda 

qo’llaniladigan 

y

d y

 

 

yoki 





 

 

f x

x

f x

f

x

x



  





 

formulalarni hosil qilamiz. 

Masalan,  taqribiy  hisoblash  formulasini  qo’llab, 

3

124   ni  hisoblash  talab 

etilsin. 

3

y

x



 funksiya uchun taqribiy hisoblash formulasi  

3

3

2

3

1

3

x

x

x

x

x

  





 

ko’rinishda yoziladi. Natijada 

125

0



x

va 

1







x

 deb olamiz. jadajada 

 

3

3

3

2

3

1

1

74

124

125 1

125

1

5

4

.

75

75

3 125



 



  



 

5-ta’rif.  Agar 

 

f x

  funksiya  [ ; ]

a b   intervalining  har  bir  nuqtasida 

differensiallanuvchi  bo’lib, 

 

f

a





  va 

 

f

b





hosilalar  mavjud  bo’lsa,  u  holda 

 

x

f

y



 funksiya [ ; ]

a b  intervalda differensiallanuvchi deyiladi. 

Agarda 

 

x

f



  funksiya  [ ; ]

a b   intervalda  uzluksiz  bo’lsa,  u  holda 

 

f x

 

funksiya [ ; ]

a b   intervalda uzluksiz differensiallanuvchi deb yuritiladi. 

Differensial  hisobning  geometriyadagi  tatbig’ini  ko’rish  uchun 

 

x

f

y



 

funksiya    grafigi 

L

  chiziqning  biror 

0

M

  nuqtasiga  o’tkazilgan  urinma  ta’rifini 

beramiz. 

 

x

f

y



 

funksiya 

0

x

 

nuqtaning 

biror 

atrofida 

aniqlangan 

va 

 





0

0

0

;

M

x f x

L



, 





1

0

0

; (

)

M x

x f x

x

L

 

 



  bo’lsin. 

6-ta’rif. 

L

 

egri 

chiziqqa 

o’tqazilgan 

0

1

M M

 

kesuvchining 





1

0

0

; (

)

M x

x f x

x

 

 

  nuqtasi 

L

  egri  chiziq  bo’ylab 

 





0

0

0

;

M

x f x

  nuqtaga 

ixtiyoriy  ravishda  yaqinlashadigan  limit  holati 

L

  egri  chiziqqa 

 





0

0

0

;

M

x f x

 

nuqtasidan o’tkazilgan urinma deb aytiladi. 

0

1

M M

  kesuvchining  burchak  koeffisienti: 

y

tg

x









.  Uning 

x



  nolga 

intilgandagi limiti esa bir tomondan urinma burchak koeffisienti  

tg

k

a



 ga teng 

bo’lsa,  ikkinchi  tomondan  hosila  ta’rifiga  ko’ra, 

 

x

f

y



  funksiyaning 

0

x

 

nuqtadagi hosilasi 

 

0

f

x



 ga teng. 

Demak, 

 

0

0

lim

.

x

y

k

tg a

f

x

x

 













 

Bundan hosilaning geometrik ma’nosi kelib chiqadi. 

3-teorema. 

 

x

f

y



  funksiyaning 

0

x

  nuqtadagi 

 

0

f

x



  hosilasi, 

 

x

f

funksiya  grafigiga 

0

x

  abssissali  nuqtasidan  o’tkazilgan  urinmaning  burchak 

koeffisientiga teng: 

 

0

.

f

x

k





 

Hosilaning geometrik ma’nosidan foydalanib, 

 

x

f

y



 funksiya grafigining 

 





0

0

0

;

M

x f x

  nuqtasiga  o’tkazilgan  urinma  va  normal  tenglamalarini 

quyidagicha yozilishi mumkin:   

 

  



0

0

0

y

f x

f

x

x

x









 (urinma tenglamasi);  

 

(3) 

 





0

0

0

1

( )

y

f x

x

x

f x







 













 (normal tenglamasi). 

 

 

(4) 

Masalan, 

3

x

y



 funksiya grafigining 

0

1

x



 absissali nuqtasiga o’tkazilgan 

urinma tenglamasi: 





1

1

1 .

3

y

x

 



 

 

x

f

y



  funksiya 

x

  nuqtada  chekli 

 

f

x



  hosilaga  ega  bo’lsa,  uni  shu 

nuqtada  erksiz  o’zgaruvchi  y   ning  erkli  o’zgaruvchi 

x

  ga  nisbatan  o’zgarish