1-ma’ruza Kompleks sonning moduli va argumenti. Kompleks sonlar ustida amallar. Kompleks sonning trigonometrik va ko’rsatkichli shakli. Muavr formulasi. Kompleks sondan ildiz chiqarish
Download 0.64 Mb. Pdf ko'rish
|
1-ma’ruza 2f23e784ba8f9c5cf92bbb808389a0f6
- Bu sahifa navigatsiya:
- Kompleks sondan ildiz chiqarish Ma’ruza rejasi
- Kompleks son tushunchasi. Kompleks sonning algebraik shakli. 1 -Ta’rif.
- Algebraik shakldagi kompleks sonlar ustida amallar.
- Kompleks sonning trigonometrik va ko’rsatkichli shakli
- 2-Misol.
- Kompleks sondan ildiz chiqarish.
- 3-Misol.
|
1-ma’ruza Kompleks sonning moduli va argumenti. Kompleks sonlar ustida amallar. Kompleks sonning trigonometrik va ko’rsatkichli shakli. Muavr formulasi. Kompleks sondan ildiz chiqarish Ma’ruza rejasi: 1. Kompleks son tushunchasi. Kompleks sonning algebraik shakli. 2. Algebraik shakldagi kompleks sonlar ustida amallar. 3. Kompleks sonning trigonometrik va ko’rsatkichli shakli. 4. Kompleks sondan ildiz chiqarish.
(1) ko’rinishdagi ifodaga aytamiz, bu yerda x va y haqiqiy sonlar bo’lib, ular
kompleks sonning mos ravishda haqiqiy va mavhum qismi deb ataladi va ular ko’rinishda belgilanadi, i esa
ataladi. ko’rinishdagi kompleks sonni haqiqiy son bilan bir deb hisoblanadi.
Kompleks sonning algebraik, trigonomentrik va ko’rsatkichli shakllari mavjud. (1) tenglik bilan ifodalangan shakl, kompleks sonning algebraik shakli deb yuritiladi.
Dekart koordinatalar sistemasida kompleks sonni geometrik jihatdan nuqta sifatida, yoki koordinatalar boshini nuqta bilan tutashtiruvchi vektor sifatida, yoki proyeksiyalari bo’lgan ̅ radius vektor sifatida talqin qilish mumkin (1-rasm). Kompleks son tasvirlanadigan tekislik (Z) kompleks tekislik deb ataladi.
ko’rinishda, ya’ni u haqiqiy sondan iborat bo’lsa, u holda unga mos keluvchi nuqta o’qda yotadi, shuning uchun abssissalar o’qi haqiqiy o’q deb ataladi. Sof mavhum
kompleks son o’qda tasvirlanadi, shuning uchun ham ordinatalar o’qi mavhum o’q deb ataladi.
Agar ikkita
kompleks sonlar uchun
tengliklar o’rinli bo’lsa, ularni biz teng kompleks sonlar deb ataymiz:
. Ikkita
kompleks sonlarning yig’indisi, ayirmasi, ko’paytmasdi va nisbati quyidagicha aniqlanadi:
y φ
x 1-rasm
r
𝑂
Kompleks sonlarni qo’shish va ko’paytirish amallari quyidagi xossalarga ega: 1. Kommutativlik
2. Assotsiativlik
3. Distributivlik
mavhum birni darajaga ko’targanda, quyidagi qiymatlarni qo’yish kerak:
va hokazo. ̅ kompleks son kompleks songa qo’shma deb ataladi. Qo’shma kompleks sonlar uchun ayrim xossalarini ko’rsatib o’taylik: ̅ ̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅
̅
̅̅̅̅̅̅̅̅
̅
̅
(
) ̅̅̅̅̅̅
̅
̅
1- Misol. Ko’rsatilgan amallarni bajaring:
√ √
( √ )(√ ) √
√
√
√
(√ )( √ ) ( √ )( √ )
√ √
√
√
( √ )(√ ) √ √
√ √
√ √ ( √ )( √ ) ( √ )( √ )
√ √ √
√ √
√
Kompleks sonning trigonometrik va ko’rsatkichli shakli. kompleks songa mos keluvchi ̅ radius-vektor uzunligi kompleks sonning moduli deb ataladi va |
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | √
(2) formula bilan hisoblanadi.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vektor va o’qning musbat yo’nalishi orasidagi φ burchak z kompleks sonning argumenti deyiladi va ko’rinishda belgilanadi, ya’ni . Bunda φ burchak soat strelkasi harakatiga qarama-qarshi yo’nalishda hisoblansa musbat deb olinadi, aks holda, ya’ni soat strelkasi yo’nalishida hisoblansa manfiy deb olinadi. Argyment bir qiymatli aniqlanmaydi, ga karrali bo’lgan qo’shiluvchi aniqligida aniqlanadi: , bu yerda va bosh qiymat bo’lib, u quyidagi shartlarda aniqlanadi: yoki
{
(3) 1-rasmdan ko’rinib turibdiki
Shuning uchun kompleks sonning trigonometrik shakli yoki (4) ko'rinishni oladi, bu yerda kompleks sonning moduli, esa argumentning bosh qiymati bo’lib, u
tenglikni qanoatlantiradi.
Algebraik shakldan trigonometrik shaklga o’tish √
va (5) formulalar orqali amalga oshiriladi.
► Haqiqiy va mavhum qismi uchun
(3) formulaga ko’ra argumentning bosh qiymati (
) * (
)+ (
bo’lganligi uchun
√
◄
Yuqorida keltirilgan kompleks sonlar va vektorlar orasidagi moslik kompleks sonlarni qo’shish va ayirish amallarini geometrik talqin qilish imkonini beradi (2- rasmda
va
kompleks sonlarning yig’indisi va ayirmasi tasvirlangan). Kompleks sonlar ustida qo’shish va ayirish amallari uchun quyidagi tengsizliklar bajarilishini osongina ko’rsatish mumkin:
(6)
Kompleks sonlar uchun muhim formulani keltiramiz:
(7) (7) formula Eyler formulasi deb yuritiladi. Bu formulaning ma’nosini va isbotini keyinroq beramiz. U holda (4) formulaga (7) formulani qo’llasak
kompleks sonning ko’rsatkichli shaklini hosil qildik.
Kompleks sonning trigonometrik va ko’rsatkichli shakllari kompleks sonlar ustida ko’paytirish va bo’lish amallarini bajarishga juda qulay. Agar
va
bo’lsa, u holda
(9) (9) tenglikni osongina isbotlash mumkin:
[
]
Shunday qilib kompleks sonlar ko’paytirilganda ularning modullari ham ko’paytiriladi, argumentlari esa qo’shilar ekan:
(10) Agar
bo’lsa xuddi shu singar kompleks sonlarning nisbati uchun
(11) tenglikni hosil qilish mumkin. (11) tenglikdan ko’rinib turibdiki |
|
(12) kompleks sonni natural darajaga ko’tarish amalini kiritamiz:
⏟
(9) formulaga ko’ra kompleks sonni darajaga ko’tarish
(
)
(13) qoidaga ko’ra amalga oshiriladi. So’ngi tenglikda bo’lsa
(14) Muavr formulasini hosil qilamiz. Kompleks sondan ildiz chiqarish. 2-rasm
𝑧
𝑧
𝑧
𝑧
𝑧 𝑧
x O
Kompleks sondan ildiz chiqarish amali quyidagicha amalga oshiriladi. Agar
(15) tenglik o’rinli bo’lsa, kompleks soni kompleks sonnning darajali ildizi deb ataladi va u √
Ixtiyoriy uchun √
ildiz turli qiymat qabul qilishini ko’rsatamiz. (15) formulaga
ifodalarni qoyib
(16) tenglikka ega bo’lamiz. Ikkita kompleks sonning tengligidan, ular modullarining tengligi, rgumentlari esa teng bo’lishi yoki bir biridan ga karrali bo’lgan qo’shiluvchi bilan farq qilishi kelib chiqadi. Shuning uchun (16) munosbatdan
yoki
√
(17) formulani hosil qildik. (17) formuladagi birinchi tenglikdan kompleks sonnning
darajali ildizlarining barchasi bir xil modulga ega ekanligini, ikkinchi tenglikdan esa argumentlari bir- biridan
ga karrali bo’lgan qo’shiluvchi bilan farq qilishini ko’rish mumkin. Bundan esa
kompleks sonning darajali ildizlarining turli qiymatlariga mos keluvchi nuqtalar markazi
nuqtada va radiusi √
bo’lgan aylanaga ichki chizilgan burchak uchlarida yotishi kelib chiqadi
(3-rasm). (17) formulada soniga qiymatlarni berib √
√
(18) yoki √
√
(19) turli kompleks sonlarni hosil qilamiz.
√
ildizning barcha qiymatlarini toping (4-rasm). ► kompleks sonni ko’rsatkichli shaklda yozamiz
(19) formulaga asosan
(
)
Bu yerdan
4-rasm w 𝑤 0 𝑤
𝑤
𝑥 𝑦 3-rasm
𝑥 𝑦 n=8 𝜋
w 0
√
√
√
√
0
◄
Download 0.64 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|