1 является собственным значением с кратностью n

1 является собственным значением с кратностью n.
• Если > Real(µ), то |λi| < 1 для i = 1, .., m1, где µ — собственное значение матрицы
• Если < Real(µ), then |λ_i| > 1 , for i = 1, .., m₁.
• Если диагонализируемо, то вляется диагонализируемым.
Доказательство. Пусть λ — собственное значение предобусловленной матрицы , соответствующий собственный вектор. Чтобы получить распределение собственных векторов, рассмотрим следующую обобщенную задачу на собственные значения:
(13)
Уравнение (12) можно эквивалентно переписать как
(14)
Если верно λ = 1, то из второго уравнения (14) легко получить y = 0. Таким образом, имеется n линейно независимых собственных векторов соответствующий собственному значению 1, где — произвольные линейно независимые векторы.
Если λ = 1 и y = 0, то из первого уравнения (14) получаем, что x = 0. Это противоречит предположению, что является собственным вектором предобусловленной матрицы затем Если y удовлетворяет второму уравнению (14), то
(15)
где

Мы делаем вывод, что

(16)
(16) можно переписать следующим образом:
(17)
где i — мнимое комплексное число , a и b — действительная часть, а α мнимая часть µ. Следовательно, если то после некоторых манипуляций λ должен удерживать следующее неравенство:

Если то

(18)
Так как является диагонализируемым, то существует m линейно независимых собственных векторов вида U , V и W матрицы, столбцы которых соответственно, где даются следующим соотношением
(19)
Так как U и W невырожденные матрицы, мы заключаем, что det и диагонализируема.
При выполнении условий предыдущей теоремы предобусловленные методы подпространств Крылова сходятся не более чем за m1 + 1 итерацию. Более того, в теореме 1 видно, что оценка зависит только от распределения собственных значений и на матрице собственных векторов. Предварительно обусловленную матрицу можно переписать следующим образом:
P_α,Sˆ = H + S.
Где следующие матрицы являются эрмитовой матрицей
(20)
и косоэрмитова матрица
(21)
Предположим, что B имеет полный ранг по столбцу, а H определяется как в (20), D = O и Sˆ = S. Тогда матрица H положительно определена при α∗ = 2 тогда и только тогда, когда :
λ_min < 3. (22)
Где λmin — минимальное собственное значение матрицы B^T A^−T A⁻¹B.
Доказательство. H имеет блочно-треугольную факторизацию
(23)
где Из (23) заключаем, что det(H) = det(S ), тогда
матрица H положительно определена тогда и только тогда, когда явлается положительно определена матрица. Теперь мы показываем что является SPD, доказав, что для всех векторов y мы имеем следующее неравенство:

Что можно записать как
(24)
Предварительное умножение (24) на дает
(25)
Тогда после некоторых манипуляций и с учетом того, что α∗ = 2 является минимумом
функция матрица H положительно определена при α∗ = 2 тогда и только тогда, когда :
λ_min < 3. (26)
Где λ_min — минимальное собственное значение матрицы B^T A^−T A⁻¹B. Таким образом, доказательство Лемма 4 завершена.
Пусть S определено как в (21), тогда S чисто мнимое.
Доказательство. Пусть , удовлетворяющее следующему равенству:
(27)
Что можно записать как:

где y^T K₂y = z₁ + iz₂. Таким образом, доказательство леммы 4 завершено.
Следующая теорема легко следует из лемм 4 − 4.
Теорема 2. Пусть предобусловленная матрица определена как в (12) и B имеет полный ранг столбца. Тогда действительная часть собственных значений строго положительна.
5. Численные эксперименты
В этом разделе мы представляем результаты численных экспериментов, которые иллюстрируют поведение сходимости предобусловленных методов GMRES [10], BICGSTAB [10] и FGM-RES [11] с использованием предложенного предобуславливателя. Все сообщаемые численные результаты выполняются на компьютерной архитектуре Linux. Время ЦП и количество итераций указаны в строках «ЦП» и «Итер» в таблицах ниже. В случае методов с предварительной обработкой GMRES и FGMRES «Iter», а именно количество шагов метода с предварительной обработкой GMRES или метода с предварительной обработкой FGMRES. Норма абсолютного вектора невязки обозначается RES. Здесь «RES» определяется как RES = ǁb−AXǁ2. Во всех таблицах крестик «†» означает, что метод не сошелся не более чем за 200 итераций. Где P_α,Sˆ, P_T и P_D задаются следующим образом:


(28)
Где Aˆ, Bˆ, Cˆ и Sˆ являются аппроксимацией A, B, C и матрицы дополнения Шура D − CA⁻¹B соответственно. Параметр предобуславливателя P_α,Sˆвыбран таким образом, чтобы эффективно реализовать регуляризованный предобуславливатель, нам необходимо правильно выбрать параметры α, поскольку аналитическое определение параметров, которое приводит к наиболее быстрой сходимости предобусловленной итерации GMRES, оказывается довольно трудным. проблема. В таблицах 2, 3 и 4 для эффективной реализации регуляризованного предобуславливателя нам необходимо правильно выбрать параметры α, поскольку аналитическое определение параметров, приводящее к максимально быстрой сходимости предобусловленной итерации GMRES, представляется довольно сложной задачей. В регуляризованном предобуславливателе параметр α принимается равным , что уравновешивает матрицы A^ˆ and C^ˆS^ˆ−1B^ˆ в евклидовой норме. Во всех численных тестах, приведенных ниже, начальное предположение принимается за нулевой вектор. Для предварительно подготовленных методов GMRES, гибкого GMRES (FGMRES) и BICGSTAB итерации были остановлены, когда:
(29)
Где P — один из предобуславливателей P_α,Sˆ, P_T , or P_D, ǁ· ǁ₂— евклидова норма, X^(k) ∈ R^(n+m) текущая итерация. При использовании внутреннего предобусловленного GMRES для решения первой системы Алгоритма в качестве предобуславливателя используется факторизация LU, вычисляемая с помощью пакета MUMPS [2, 3]. Внутренняя относительная норма невязки меньше (tol = 10⁻⁶).