1 является собственным значением с кратностью n

Таблица 1: Размер матриц A, B, C и D.

модель ИВС
l	n	m	размер A	размер B	размер C	размер D
Тест2	1503	14	1503 ×1503	1503 × 14	14× 1503	14× 14
Тест3	127760	380	127760×127760	127760× 380	380× 127760	380× 380

Общая информация о Тест-задачах, включая n и m, дана в Таблице 1.

Таблица 2: Численные результаты аппроксимации дополнения Шура.

Sˆ
Тест1	CPUShur: 9.76e-03
Тест2	CPUShur: 1.71e+01

В Таблице 2 мы представили результаты аппроксимации дополнения Шура с точки зрения процессорного времени.

Таблица 3: Численные результаты для трех предварительно подготовленных методов GMRES.

Тест		Pα,Sˆ	PT	PD
Тест1	Итер	8	23	10
	Процессор	1.70e-03	5.65e-03	2.66e-03
	ВИЭ	3.02e-14	3.79e-13	1.72e-12
Тест2	Итер Процессор ВИЭ	2 1.36 7.94e-22	† † †	† † †

Таблица 4: Численные результаты для трех предварительно подготовленных методов FGMRES.

Тест		Pα,Sˆ	PT	PD
Тест1	Итер	12	30	29
	Процессор	2.86e-03	6.79e-03	4.78e-03
	ВИЭ	2.20e-24	2.00e-11	2.00e-11
Тест2	Итер Процессор ВИЭ	2 6.12e-01 5.37e-26	† † †	† † †

Таблица 5: Численные результаты для трех предварительно подготовленных методов BICGSTAB.

Тест		Pα,Sˆ	PT	PD
Тест1	Итер	15	22	15
	Процессор	3.68e-03	5.59e-03	3.40e-03
	ВИЭ	3.83e-15	6.75e-15	5.40e-15
Тест2	Итер Процессор ВИЭ	2 5.94e-01 6.27e-28	† † †	† † †

В таблицах 3, 4 и 5 представлены результаты для итерационных методов GMRES, FGMRES и BICGSTAB с предварительно подготовленными условиями. Из численных результатов, приведенных в таблицах, мы можем сделать вывод, что методы GMRES, FGMRES и BICGSTAB с предварительной обработкой P_α,Sˆ требуют меньше итераций и имеют более быстрое время CPU, чем P_T и P_D во всех испытаниях. Предобуславливатели P_D и P_T не сходятся в случае теста 2, тогда как предобуславливатель P_α,Sˆ сходятся как в случае теста 1, так и в случае теста 2.

6. Заключение
В настоящей работе мы разработали и исследовали численно-параллельный блочный предобуславливатель для класса линейных систем, возникающих из модели IVS. Был предложен параллельный блочный прекондиционер, основанный на приближенном дополнении Шура (Блок-Шур) и методе регуляризации. Параллельно было проведено несколько численных экспериментов на параллельной компьютерной архитектуре для изучения производительности итерационных решателей с точки зрения итераций методов подпространств Крылова и времени вычислений.
Численные результаты, представленные в разделе 5 (таблицы 3, 4 и 5), показывают, что регуляризованные параллельные блочные предобусловленные методы подпространств Крылова с подходящим параметром имеют большое превосходство по сравнению с предобусловленными P_D и P_T методами подпространств Крылова с точки зрения итераций и CPU и показывают, что регуляризованный метод Крылова с предварительным обусловливанием параллельных блоков является очень эффективным методом для решения (1).
Однако я должен упомянуть, что этот новый предобуславливатель включал параметр α. Как выбрать оптимальные параметры для регуляризованного предобуславливателя-очень практичная и интересная проблема, требующая дальнейшего углубленного изучения.


Рекомендации

[1] В.Е. Арнольди, Принцип минимизации итераций при решении матрицы

проблема собственных значений, Quart. заявл. Матем., 9 (1951), стр. 17-29.
[2] Э. Андерсон и др., 1999 г. Пользователи LAPACK; Путеводитель Третий., Филадельфия, Пенсильвания: Общество.
по промышленной и прикладной математике.
[3] П.Р. Аместой, И.С. Дафф, Дж. Костер и Дж.-Ю. L'Excellent, Полностью асинхронный многофронтальный решатель, использующий распределенное динамическое планирование, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications., 23 (2001), стр. 15-41.
[4] Э. Андерсон и др., 1999 г. Пользователи LAPACK; Путеводитель Третий., Филадельфия, Пенсильвания: Общество.
по промышленной и прикладной математике.
[5] М. Бензи, Дж.А. Уотхен, Некоторые методы предварительного кондиционирования для задач седловой точки, Снижение порядка модели: теория, аспекты исследования и приложения., 13 (2004), стр. 195-211.
[6] М. Бензи, Г.Х. Голуб, Дж. Лизен, Численное решение задач с седловой точкой, Acta
Numerica., 14 (2005), стр. 1-137.
[7] Дж. Р. Кэш, Вторая производная, расширенная формула обратного дифференцирования для численного интегрирования жестких систем. СИАМ Дж. Нумер. Анальный. 18 (1981), стр. 21–36.
[8] В. Дувиг, А. Барбу, Новый код MFVISC для меди и гелия в железе под
Облучение. Отчет об исследованиях D-P124, Европейский проект PERFECT, 2004 г.
[9] Дж. Пестана, А. Дж. Ватен, Естественная предварительная обработка и итерационные методы для седла.
балльные системы, SIAM Rev., 57 (2015), стр. 71-91.
[10] Ю. Саад, Итерационные методы для разреженных линейных систем, SIAM, Филадельфия, 6.
и 7. Методы подпространств Крылова, части I и II (2003), стр. 151-244.
[11] Ю. СААД, Гибкий алгоритм внутренней и внешней предварительной обработки GMRES, SIAM J. Sci.
Вычисл., 14 (1993), стр. 461-469.