10. Функция экстремуми тушунчаси. Зарурий шарт

Кўп ўзгарувчили функциянинг экстремумлари

Режа:
1⁰. Функция экстремуми тушунчаси. Зарурий шарт

2⁰. Функция экстремумга эришишининг етарли шарти
3⁰. Хусусий ҳоллар
1⁰. Функция экстремуми тушунчаси. Зарурий шарт. Фараз қилайлик, функция тўпламда берилган бўлиб, бўлсин.
1-таъриф. Агар шундай сон топилсаки,
бўлиб, да
бўлса, функция нуқтада локал максимумга, бўлса, функция нуқтада локал минимумга эришади дейилади.
2-таъриф. Агар шундай сон топилсаки, бўлиб, да бўлса, функция нуқтада қатъий локал максимумга, бўлса, функция нуқтада локал қатъий минимумга эришади дейилади.
Функциянинг локал максимуми, локал минимуми умумий ном билан локал экстремуми дейилади. Бунда нуқта функциянинг локал экстремум нуқтаси, га эса функциянинг локал экстремум қиймати дейилади.
Функциянинг максимум (минимум) қиймати қуйидагича белгиланади:

Маълумки,

айирма функциянинг нуқтадаги тўлиқ орттирмаси дейилар эди.
функция нуқтада локал максимумга эришса, унда да

бўлади ва аксинча.
Шунингдек, функция нуқтада локал минимумга эришса, унда да

бўлади ва аксинча.
1-теорема. Агар функция нуқтада локал эстремумга эришса ва шу нуқтада барча

хусусий ҳосилаларга эга бўлса, у ҳолда

бўлади.
◄Айтайлик, функция нуқтада локал минимумга эришсин. У ҳолда
да
тенгсизлик бажарилади. Жумладан

бўлади. Агар

дейилса, да

бўлиб, бир ўзгарувчили функция нуқтада локал минимумга эришади. Унда 25-маърузада келтирилган теоремага кўра
яъни
бўлади.
Худди шунга ўхшаш

бўлиши исботланади.►
1-эслатма. Агар функция бирор нуқтада локал экстремумга эришса ва шу нуқтада дифференциал-ланувчи бўлса, у ҳолда

бўлади.
2-эслатма. функциянинг бирор нуқтада барча хусусий ҳосилаларга эга ва

бўлишидан берилган функциянинг шу нуқтада локал эстремумга эришиши ҳар доим келиб чиқавермайди. (мисоллар кейинги пунктда келтирилади).
Демак, 1-теорема функциянинг локал экстремумга эришишининг зарурий шартини ифодалайди.
функция хусусий ҳосилаларини нолга айлантиради-ган нуқталар унинг стационар нуқталари дейилади.