10. Kompleks argumentli funktsiya tushanchasi

Kompleks oʻzgaruvchining funksiyasi haqida tushuncha, uning geometrik talqini. Funksiyaning limiti, uzluksizligi va tekis uzluksizligi
1⁰. Kompleks argumentli funktsiya tushanchasi. da biror E to’plam berilgan bo’lsin: .
1-ta’rif. Agar E to’plamdagi har bir kompleks songa biror qoida yoki qonunga ko’ra bitta kompleks son mos qo’yilgan bo’lsa E to’plamda funktsiya berilgan deb ataladi va u
yoki
kabi belgilanadi. Bunda E funktsiyaning aniqlanish to’plami, -erkli o’zgaruvchi yoki funktsiya argumenti, esa o’zgaruvchining funktsiyasi deyiladi.
Aytaylik,

funktsiya biror E ( ) to’plamda berilgan bo’lsin, ya’ni qoidaga ko’ra har bir

songa bitta

son mos qo’yilgan bo’lsin. Demak,

Keyingi tenglikdan

bo’lishi kelib chiqadi.
Demak, E to’plamda funktsiyaning berilishi shu to’plamda x va y haqiyqiy o’zgaruvchilarning

funktsiyaning berilishidek ekan.
Odatda, funktsiya funtsiyaning haqiyqiy qismi, esa ning mavhum qismi deyiladi:

Misol. Ushbu

funktsiyaning haqiyqiy va mavhum qismlarini toping.


Demak,


Erkli o’zgaruvchi E to’plamda o’zgarganda funktsiyaning mos qiymatlaridan iborat to’plam

bo’lsin. Odatda, bu to’plam funktsiya qiymatlari to’plami deyiladi.
Demak, E to’plamda funktsiyaning berilishi Oxy-kompleks tekislikdagi F to’plamga aks ettirishdan iborat ekan. SHu sababli funktsiyani E to’plamning F to’plamga akslantirish deb ham yuritiladi.
Faraz qilaylik, funktsiya to’plamda berilgan bo’lib,

bo’lsin. So’ngra to’plamda o’z navbatida biror

funktsiya berilgan bo’lsin. Natijada,E to’plamdan olingan har bir z ga F to’plamda bitta W son ( ) va F to’plamdan olingan bunday W songa bitta son mos qo’yiladi:

Demak, E to’plamdan olingan har bir z ga bitta son mos qo’yilib, funktsiya hosil bo’ladi. Bunday funktsiya murakkab funktsiya deyiladi va

kabi belgilanadi.
funktsiya E to’plamda berigan bo’lib, F esa shu funktsiya qiymatlaridan iborat to’plam bo’lsin:
F to’plamdan olingan har bir W songa E to’plam bitta z son mos qo’yilishini ifodalovchi funktsiya funktsiyaga nisbatan teskari funktsiya deyiladi va kabi belgilanadi.
Faraz qilaylik funktsiya to’plamda berilgan bo’lsin.
2-ta’rif. Agar z argumentning E to’plamdan olingan turli qiymatlarida funktsiyaning mos qiymatlari ham turlicha bo’lsa,ya’ni tenglikdan tenglik kelib chiqsa, funktsiya E to’plamda bir yaproqli funktsiya deyiladi.
Misol. Ushbu

funktsiyaning to’plamda bir yaproqli bo’lishini ko’rsating.
Aytaylik, uchun

Demak,
Bu esa berilgan funktsiyaning e da bir yaproqli ekanini bildiradi.