10. Koshi tеorеmasi komplеks o’zgaruvchili funksiyalar nazariyasining fundamеntal tеorеmasi hisoblanadi. Uni isbotsiz kеltiramiz

Koshi tеorеmalari. Boshlangich funktsiya tushunchasi
Reja:
1. Koshi teoremasi.
2. Koshi teoremasining umumlashmasi.
3. Boshlang’ich funksiya tushunchasi.
1⁰. Koshi tеorеmasi komplеks o’zgaruvchili funksiyalar nazariyasining fundamеntal tеorеmasi hisoblanadi. Uni isbotsiz kеltiramiz.
2-tеorеma. (Koshi tеorеmasi). Agar funksiya bir bog’lamli D sohada golomorf bo’lsa, u holda funksiyaning D sohada yotuvchi har qanday silliq (bo’lakli silliq) yopiq chiziq (yopiq kontur) bo’yicha intеgrali nolga tеng bo’ladi:
. (1)
1-teoremani quyidagicha ham ifodalash mumkin.
2-teorema. Faraz qilaylik, bir boglamli, chegarasi to’g’rilanuvchi yopiq chiziqdan tashkil topgan soha bo’lsin. Agar funksiyasi sohaning yopig’i ning biror atrofida golomorf bo’lsa, u holda

bo’ladi.
Bu teoremani funksiya faqat da golomorf bo’lgan hol uchun ham isbotlash mumkin.
3-teorema. bir bog’lamli, chegarasi to’g’rilanuvchi soha bo’lib, funksiyasi da golomorf, da uzluksiz bo’lsin. U holda

bo’ladi.
4-teorema. (Ko’p bog’lamli soha uchun). Faraz qilaylik, chegarasi to’g’rilanuvchi chiziqlardan tashkil topgan ko’p bog’lamli soha bo’lsin. Agar da golomorf, da uzluksiz bo’lsa, u holda
(2)

1. 
   tenglekni quyidagicha ham yozish mumkin
   

(3)
Natijza. Faraz qilaylik; bir bog’lamli soha bo’lib, chiziqlarning har biri boshi va oxiri nuqtada bo’lgan chiziqlar bo’lsin. Agar bo’lsa, u holda
(4)
bo’ladi.
(3) tenglik, qaralayotgan integralning va nuqtalarigagina bog’liq bo’lib, integrallash yo’liga bog’liq bo’lmasligini bildiradi. Shuni e’tiborga olib, (3) integralni
(5)
kabi belgilash ham mumkin.
Agar (4) integralda nuqtani tayinlab, ni esa o’zgaruvchi sifatida qaralsa, (4) integral o’zgaruvchining funksiyasi bo’ladi:

5-teorema. Agar funksiya bir bog’lamli sohada golomorf bo’lsa, u holda funksiya ham sohada golomorf bo’lib,

bo’ladi.
Bu teoremadan ko’rinadiki, bir bog’lamli sohada golomorf funksiya ning boshlang’ich funksiyasi mavjuddir.
6-teorema. Agar funksiya sohada ning boshlang’ich funksiyasi bo’lsa, u holda
(6)
formula (Nyuton – Leybnis formulasi) o’rinli bo’ladi, bunda va nuqtalar sohaga tegishli ixtiyoriy nuqtalar.
Misol. Ushbu

intеgralning nolga tеng bo’lishini ko’rsating, bunda

Agar dеb quyidagi

soha olinsa, unda birinchidan

funksiya D da golomorf bo’ladi, ikkinchidan qaralayotgan yopiq chiziq da D sohaga tеgishli bo’ladi:
Unda Koshi tеorеmasiga ko’ra

bo’ladi.