17. Aylana, ekvidistanta va oritsikl chiziqlar

17.Aylana, ekvidistanta va oritsikl chiziqlar

Ma`lumki, Yevklid tekisligidagi ikki chiziq —to`g`ri chiziq bilan aylana o`zining ajoyib bir xossasi bilan boshqa chiziqlardan ajralib turadi. Bu xossa shundan iboratki, bu chiziqlar o`z shaklini o`zgartirmasdan o`z-o`zi bo`y`lab sirpanadi. Bunday xossaga ega chiziqlarni o`zgarmas egrilikka ega chiziqlar deb ataladi.Bunday xossali ikki chiziqning mavjudlidi Yevklid tekisligidagi ikki to`g`ri chiziqning o`zaro ikki xil — kesishuvchi va parallel holda joylanishi bilan uzviy bog`langandir. Bu esa o`z yo`lida Yevklid tekisligida to`g`ri chiziqlarning ikki xil dastasi borligining natijasidir: 1) dasta markazi deb ataldigan nuqtadan o`tgan barcha to`g`ri chiziqlar to`plami (markazli dasta); 2) bir to`g`ri chiziqqa parallel bo`lgan barcha to`g`ri chiziqlar to`plami (markazsiz dasta). Markazli dastaning orthogonal traektoriyasi aylanadan, markazsiz dastaning orthogonal traektoriyasi esa to`g`ri chiziqdan iborat.

Lobachevskiy tekisligida ham yuqoridagi xossaga ega bo`lgan bunday chiziqlarning mavjudligi to`g`ri chiziqlarning o`zaro joylashuviga bog`liqdir. Lobachevskiy tekisligida ikki to`g`ri chiziq kesishuvchi (yaqinlashuvchi), o`zaro parallel (ma`lum yo`nalishda) va uzoqlashuvchi bo`lishi mumkin, ya`ni lobachevskiy tekisligida to`g`ri chiziqlarning uch xil dastasi mavjud:1)bitta nuqtada kesishuvchi barcha to`g`ri chiziqlar to`plami elliptic dasta deb yuritiladi: 2)biror to`g`ri chiziqning belgili yo`nalishida unga parallel bo`lgan barcha to`g`ri chiziqlar to`plami parabolic dasta deb ataladi; 3)tayin to`g`ri chiziqqa perpendikulyar bo`lgan barcha to`g`ri chiziqlar, ya`ni uzoqlashuvchi to`g`ri chiziqlar to`plami giperbolik dasta deb ataladi. Bu uch xil dastaning mavjudligi munosabati bilan doimiy egrilikka ega bo`lgan uch xil egri chiziq borligini ko`rsatamiz. Buning uchun avval ba`zi tushunchalarni kiritaylik.

Ixtiyoriy ikki a, b to`g`ri chiziqni uchinchi c to`g`ri chiziq kesib o`tganda hosil bo`lgan ichki bir tomonli burchaklar teng bo`lsa ya`ni(), c to`g`ri chiziq a, b ning teng og`ishli kesuvchisi deb ataladi.

Teorema. To`g`ri chiziqlar dastasiga tegishli ixtiyoriy ikki to`g`ri chiziqning biridagi nuqtadan ikkinchisiga teng og`ishli faqat bitta to`g`ri chiziq o`tkazish mumkin.

Isboti. 1-hol, a,b to`g`ri chiziqlar markazli dastaga tegishli bo`lsin. a to`g`ri chiziqdagi ixtiyoriy A nuqtani olib, S nuqtadan boshlab b to`g`ri chiziq ustiga SA gat eng kesma qo`ysak, b da B nuqta (SA=SB) hosil bo`ladi. teng yonli bo`lgani uchun . Bu burchaklarni to`diruvchilari ham o`zaro teng bo`lgani uchun AB to`g`ri chiziq a, b uchun teng og`ishli kesuvchi bo`ladi. Ravshanki, A nuqtadan a,b nit eng og`ishda kesuvchi boshqa to`g`ri chiziq o`tmaydi.

2-hol. A, b to`g`ri chiziqlar giperbolik dastaga tegishli bo`lsin. Bu holda a,b to`g`ri chiziqlar o`zaro uzoqlashuvchi to`g`ri chiziqlar bo`lib, bunday to`g`ri chiziqlar yagona umumiy AB perpendikulyarga egadir, bu perpendikulyar a,b ning teng og`ishli kesuvchisi bo`ladi. U holda a dagi A nuqtadan teng og`ishli kesuvchini o`tkazish uchun B dan boshlab b ning ustida (Aˊ́ nuqta Ab ning qaysi tomonida bo`lsa, shu tomonda) AAˊ́=BBˊ́ shart bilan aniqlanadigan Bˊ́ nuqtani topamiz. U holda Aˊ́Bˊ́ to`g`ri chiziq izlangan kesuvchi bo`ladi, chunki Aˊ́ABBˊ́ to`rtburchak Sakkeri to`rtburchagidir: