17−ma’ruza. Funksiyaning tekis uzluksizligi. Kantor teoremasi

17−ma’ruza. Funksiyaning tekis uzluksizligi.
Kantor teoremasi
funksiya to’plamda aniqlangan bo’lib, nuqtada uzluksiz bo’lsin. Funksiya uzluksizligi ta’rifiga ko’ra, son uchun shunday musbat son topiladiki, tengsizlik o’rinli bo’lishidan tengsizlikni o’rinli bo’lishi kelib chiqadi. Bu ta’rifdagi son avval ta’kidlab o’tganimizdek ga bog’liq: . Aytaylik funksiya ning nuqtasida ham uzluksiz bo’lsin. Yana ta’rifga ko’ra, son uchun shunday son topiladiki, dan kelib chiqadi.
funksiyaning nuqtalarda uzluksizligi ta’rifidagi son bir hil bo’lgan holda ham unga mos keladigan va sonlar umuman turlicha bo’ladi, ya’ni funksiya bir necha nuqtalarda uzluksiz bo’lganda, uzluksizlik ta’rifidagi son faqat gagina bog’liq bo’lmasdan, qaralayotgan nuqtaga ham bog’liq bo’ladi. Shuni ham aytish kerakki, agar deb olinsa, bu son va nuqtalarga baravar yarayveradi, chunki dan va dan kelib chiqadi. Misollar qaraylik:
1). funksiya segmentda uzluksiz, jumladan nuqtada uzluksizdir. Ta’rifga ko’ra, son uchun deb olinsa, bo’lganda

bo’ladi. Demak, bo’lib, bilan birga qaralayotgan nuqtaga ham bog’liq ekan. Biroq

deb olinsa, dan kelib chiqadi. Shu sababli bu son segmentning barcha nuqtalariga to’g’ri keladi.
Shunday qilib, funksiya segmentning nuqtalarida uzluksiz bo’lishi ta’rifidagi son son bilan birga qaralayotgan nuqtalarga bog’liq bo’lsa ham shunday topiladiki, u segmentning barcha nuqtalariga yaraydi, boshqacha qilib aytganda, shu son faqat gagina bog’liq bo’lib, qaralayotgan nuqtalarga bog’liq emas.
2) funksiya oraliqda uzluksiz, jumladan nuqtada uzluksizdir. Ta’rifga ko’ra son uchun deb olinsa, bo’lganda bo’ladi. Demak, ning tanlanishi son bilan birga nuqtaga bog’liq. Biroq, bu holda ning bo’yicha minimumi
.
Bu esa funksiya oraliqning nuqtalarida uzluksiz bo’lishi ta’rifi-dagi son son bilan birga qaralayotgan nuqtalarga bog’liq va oraliqning barcha nuqtalariga yaraydigan son mavjud emasligini ko’rsatadi.
8−ta’rif. Agar son uchun shunday son topilsaki, to’plamning tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy va nuqtalarida

tengsizlik bajarilsa, funksiya to’plamda tekis uzluksiz deb ataladi.
funksiyaning tekis uzluksiz ta’rifidagi son songagina bog’liq bo’ladi.