2-мавзу Акслантиришлар. Бинар ва унар муносабатлар

2-мавзу

Акслантиришлар. Бинар ва унар муносабатлар.

Таъриф. А ва В лар ихтиёрий табиатни элементларнинг бўш бўлмаган тўпламлари бўлсин. Агар А тўпламнинг ҳар бир элементига бирор f қонун ёки қоида бўйича В тўпламнинг битта ва фақат битта элементи мос (тўғри) келтирилган бўлса. А тўпламни В тўпламга f акслантириш аниқланган дейилади, уни f:AB кўринишда белгиланади. Агар f:AB акслантиришда аА ни bB га мос қуйса. b ни f акслантиришда а нинг акси (образи), а ни f акслантиришда b нинг асли (прообрази) дейилади ва b=f(a) кўринишда белгиланади, А тўплам f акслантиришнинг аниқлаш соҳаси f(A)={b:aA, b=f(a)} B эса f нинг ўзгариш соҳаси дейилади.
Таъриф.Агар ихтиёрий bB учун шундай аА топилсаки b=f(a) бўлса, f:AB ни сюрoектив акслантириш (ёки А тўпламни В тўпламнинг устига аксланади) дейилади.

Таъриф.Агар ихтиёрий а_1,а₂  А лар учун f(a₁)=f(a₂) тенгликдан а₁=а₂ тенглик келиб чиқса, f:AB акслантириш инъектив акслантириш (ёки А, тўплам В тўпламнинг ичига ўзаро бир кийматли аксланади) дейилади.

Таъриф.Агар f:AB ҳам сюръектив ҳам инъектив бўлса, у биектив акслантириш (ёки А тўпламни В тўпламнинг устига ўзаро бир қийматли аксланади) дейилади.

A f B A g B₁B A h B₂B

 f-инъектив g-сюръектив h- биектив

Таъриф.А₁, А₂, ..., А_n тўпламларнинг тўғри ёки декарт кўпатймаси деб

кўринишдаги ҳамма тартиблашган n ликларнинг { :a_iA_i- ихтиёрий элемент , i=1,2,...,n}

тўпламига айтилади. Бу тўғри ёки Декарт кўпайтма

A₁  A₂  ...  A_n

кўринишда белгиланади, яъни

A₁A₂ ...A_n = { :a_iA_i- ихтиёрий элемент , i=1,2,...,n}, n ихтиёрий натурал сони.

Агар ва < b₁,b₂,...,b_n> A₁  A₂  ...  A_n тўғри кўпайтманинг ихтиёрий иккита элементлари бўлиб, a_i=b_i i=1,2,...,n бўлса, ва < b₁,b₂,...,b_n> n ликлар тенг дейилади ва

= < b₁,b₂,...,b_n>

кўринишда белгиланади.

Таъриф. А  В тўплам элементларини биринчи координаталарини (А нинг элементларини) OX ўқида, иккинчи координаталарини (В нинг элементларини) OY ўқида тасвирлаймиз. Бу нуқталардан, мос равишда, OX, OY ўқларга перпендикуляр чиқарамиз. Бу перпендикулярнинг кесишиш нуқталарини координаталари АВ тўпламнинг элементларидан иборат. Координаталари АВ нинг элементлари (сонлар жуфти)га тенг бўлган барча нуқталар тўплами. АВ тўпламнинг геометрик тасвири дейилади.1-мисолда келтирилган АВ, ВА, АА тўпламларнинг геометрик тасвири, 2-мисолда келтирилган АВ, ВА тўпламларнинг геометрик тасвири тасвирланган.




Таъриф.А₁,А₂,...,А_n ихтиёрий табиатли элементларнинг бўш бўлмаган тўпламлари бўлса, А₁А₂...А_n тўғри кўпайтманинг ҳар қандай  қисм тўпламини А₁,А₂,...,А_n тўпламларнинг элементлари орасида аниқланган n-ар (n ўринли) муносабат дейилади.
Хосса.А тўпламда  бинар муносабат аниқлан бўлсин. У ҳолда  ни:

1) (aA) aa () бўлса, рефлексив;

2) (аА) (aa ) (  } бўлса, антирефлексив;

3) (a,bA) (ab  ba), ( ) бўлса, симметрик;

4) (a,bA) ((ab ba)  a=b), ( a=b), бўлса, антисимметрик;

5) агар (a,bA)(abba), (), бўлса асимметрик;

6)агар(a,b,cA)(abbcac),()бўлса таранзитив;

7) агар (a,bA)(ab)(abba)(ab)( ) бўлса, боғланган (чизиқли) бинар муносабат дейилади.

Агар А тўпламда аниқланган  - бинар муносабат рефлексив, симметрик ва транзитив бўлса, у ҳолда  ни эквивалентлик муносабати дейилади ва уни  кўринишда белгилаймиз.

Юқоридаги мисоллардан кўринадики "||","=" муносабатлари эквивалентлик муносабати бўлади.

Агар А₁,А₂,...,А_n тўпламлар берилган А тўпламнинг қисм тўпламлари бўлиб,

1) A_i  A_j = , i  j, i,j=1,2,...,n;

2) A=A₁ A₂  ...  A_n

бўлса, у ҳолда A тўплам ўзаро кесишмайдиган А₁,А₂,...,А_n қисм тўпламларга ажратилган дейилади.

Теорема. Агар А тўпламда  эквивалентлик муносабати аниқланган бўлса, уни ўзаро кесишмайдиган эквивалентлик синфларга ажратиш мумкин.

Бу эквивалентлик синфларининг тўпламини А тўпламни  эквивалентлик муносабатига кўра фактор-тўплами дейилади ва уни A/ кўринишда белгилаймиз, яъни A/ =.

Бу эквивалентлик муносабати Z тўпламни ўзаро кесишмайдиган қисм тўпламларга ажратади.

Таъриф. А тўпламда аниқланган  бинар муносабат антисимметрик ва транзитив бўлса,  ни А тўпламда аниқланган тартиб муносабати дейилади ва уни > кўринишда белгилаймиз.

Агар А тўпламда аниқланган > тартиб муносабати рефлексив бўлса, у ҳолда > ни А тўпламда аниқланган ноқатъий тартиб муносабати деймиз ва уни  кўринишда белгилаймиз.

Агар А тўпламда аниқланган > тартиб муносабати антирефлексив бўлса, у ҳолда > ни А тўпламда қатъий тартиб муносабат деймизи ва уни > кўринишда белгилаймиз.
Бинар муносабатларнинг умумий хоссаларини ҳар хил тилларда

қуйидагича ифодалаш мумкин.

№	Муносабат хоссалари	Муносабат тилида	Тўплам тилида	Граф тилида
1	Рефлексив	(aA), ,aa		Графнинг барча учларида тугунлар бор
2	Антирефлексив	(aA),,(aa)	=	Графда бирорта ҳам тугун йўқ
3	Симметриклик	(a,bA) , abba	=^-1	Графнинг барча учлари қарама-қарши йўналган қирралар билан боғланган
4	Антисимметриклик	(a,bA)  a=b, ab ba  a=b 		Графнинг тугунлари бор бўлиши мумкин, агар учлари бирлаштирил-ган бўлса, қирралари бир томонга йўналган бўлади.
5	Транзитивлик	(a,b,cA)  , ab b  cac	  	Агар бир неча учларидан йўл ўтса бу учлар-дан ихтиёрий жуфтини бирлаштирувчи қирра мавжуд бўлади.