3-Mavzu: Nomanfiy butun sonlar yigindisi va ko’paytmasi. Ta’rif

3-Mavzu: Nomanfiy butun sonlar yigindisi va ko’paytmasi.

Ta’rif: a va в natural sonlarning yig’indisi deb, Zo natural sonlar to’plamida ta’riflangan shunday algebraik amal natijasiga aytiladiki, bu amal quyidagi aksiomalarni qanoatlantirsa:
V: -Nomanfiy butun a son uchun a+0=a (0- Zo da qo’shishga nisbatan neytral element)
VI: Ixtiyoriy a, в nomanfiy butun sonlar uchun a+в`=(a+в)`
Misol: a=5, в=2 bo’lsin. 6-aksioma to’g’riligini tekshiramiz.
а+в`=5+3=8 , (a+в)`=(5+2)=8
1-teorema: Natural sonlarni qo’shish amali mavjud va u amal yagonadir.
Istalgan natural sonlarni doim qo’shish mumkin.
Z0 da qo’shishning xossalari:
1-xossa: Manfiy bo’lmagan butun sonlar to’plami nolni yutish xossasiga ega.
а) [0+a=a](
2-xossa: Manfiy bo’lmagan butun sonlarni qo’shish amali o'rin almashtirish
а,в) [ а+в=в+а](kommutativlik) xossasiga ega. Ya'ni (
Misol: 51+49=49+51=100
3- xossa: Nomanfiy butun sonlarni qo’shish amali guruhlash (assotsiativlik) xossasiga ega Zа, в, с, ya'ni (0 ) [(а+в)+с=а+(в+с)]
Ta’rif: a va в natural sonlarning ko’paytmasi deb , shunday algebraik amal natijasiga aytiladiki, u quyidagi aksiomalarni qanoatlantirsa:
ZаVII: (00=0) a
Zа, вVIII: (0в+ав`=а) а
2-teorema. Natural sonlarni ko’paytirish amali mavjud va u yagona.
Yuqoridagi ta’rif va teoremalardan ko’paytirish amalining qator xossalari kelib chiqadi.
10. 1·a=a . Har qanday sonni birga ko’paytirsak, shu sonning o’zi hosil bo’ladi.
20Zа, в. Ko’paytirish amali kommutativlik xossasiga ega: (0) а·в=в·a.
Misol: 2·3=3·2
30. Ko’paytirish amali assotsiativlik (guruhlash)xossasiga ega.
Nа, в, с (0с)](вс=ав))[(а
Nomanfiy natural sonlarni ko’paytirish amali qo’shishga nisbatan tarqatish xossasiga ega. a· (в+с)= a·в+ a·с .
Misol: 2·17=2∙(10+7)=2·10+2·7= 20+14=34
Zа,в,с( 0с]. Bu xossaning isbotini keltiraylik.в+а(в+c)=а) [а
Isbot: a,в- ixtiyoriy natural sonlar. M-to’plam shunday natural sonlar to’plamiki, bu to’plam elementlari uchun teorema o’rinli bo’lsin. Agar с=0 bo’lsa,

1. 
   М. 0вв+0=а0=ав+ав. a(в+0)=аа
   
2. 
   с bo’lsin.в+а(в+с)= аМ uchun: ас
   
3. 
   М. c`св+ас+а= ав+а(в+с)+а=а(в+с)`=а (в+с`)=аа
   

Demak, IV aksiomaga asosan M~Z0 bo’ladi.
Nomanfiy butun sonlar to’plamining tartiblanganligi
Ta’rif: Agar a va в natural sonlari uchun, shunday noldan farqli k soni mavjud bo’lsaki, a=в+k tenglik bajarilsa u holda a son в sondan katta, yoki в son a sondan kichik deb aytiladi, va u a>в yoki в munosabat o’rinli bo’ladi.
Ikkita ketma-ket keluvchi natural sonlar uchun quyidagi teorema o’rinli:
1-teorema: Har qanday natural son o’zidan oldin keluvchi natural sondan katta b’ladi, ya’ni Haqiqatdan ham: а’=а+1 х’=х+1 (natijaga asosan) а’>а х’>х (ta’rifga asosan).
1-xossa: Manfiy bo’lmagan butun sonlar to’plamida quyidagi munosabat o’rinli:
0<1<2<3<4<5…2-xossa: 0 soni Zo da eng kichik sondir.
3-xossa: Agar M qandaydir natural sonlar to’plami bo’lib, unda shunday в element topilsaki, uchun x<в o’rinli bo’lsa, u holda M da eng katta element в bo’ladi.