5-Laboratoriya mashg’uloti Mavzu

5-Laboratoriya mashg’uloti
Mavzu: Mapleda algebraik va oddiy differentsial tenglamalar va tengsizliklar bilan ishlash
Ishning maqsadi: Talabalarda Maple tizimidan foydalanib algebraik tenglamalar va tengliklar sistemasini, differensial tenglamalar va ularning sistemalarini Maple dan foydalanib yechish bo`yicha bilim va ko‘nikmalarni hosil qilish.
Nazariy qism
Maple yordamida algebraik tenglamalar va ularning sistemalarni analitik hamda sonli yyechish mumkin.
Algebraik tenglamani analitik yyechish uchun solve buyrug’idan foydalaniladi.
solve(eqns,vars)
eqns-tenglama va tenglamalar sistemasi vergullar bilan ajratilgan holda figurali qavs ichiga olingan.
vars-figurali qavsda o’zgaruvchilar yoki o’zgaruvchilar guruxi.
Agar solve - buyrug’ining birinchi parametri sifatida biror ifoda kiritilsa, u holda avtomatik tarzda bu ifodani nolga tenglashtirib oladi. Yechimni saqlashda o’zgaruvchini kiritish aniq indeks bo’yicha yechimga murojaat qilishni taminlaydi. Masalan,
>sols:=solve(x^2+x=0,x);
sols:=0,1,-1
>sols[2];
I
Maple har doim yetarli miqdordagi vaqt va xotirada tenglamalar sistemasini yechimini kidiradi. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar uchun bir nechta yechimni topish mumkin (albatta barchasini emas), balki Maple hech qanday yechimni topa olmaydi. Bunda Maple yangi buyruqlarni ishlatishni tavsiya etadi. Agar qaysi noma’lumni topish ko’rsatilmagan bo’lsa, unda Maple barcha noma’lumlar buyicha yechimlarni e’lon qiladi.
>solve (ax+b=0);

Agarda javob ifodasida RootOf funktsiyasi paydo bo’lsa, yechimlar argumentning ildizlari orqali ifodalanadi.
vars noma’lumlarga nisbatan eqns tenglamalar sistemasini sonli yyechish uchun fsolve buyrug’idan foydalaniladi.
fsolve (eqns,vars,option).
Bu yerda option parametri yordamida qushimcha shartlar berilishi mumkin:
complex kompleks ildizlarni ajratadi;
a..b ildizni izlash uchun oraliq beriladi
maxsols=n izlanayotgan yechimlar sonini aniqlash
fulldigits yechim uchun maksimal mantissa arifmetikasidan foydalaniladi.
hech narsa yozilmasa Maple barcha haqiqiy ildizlarni topishga harakat qiladi. >fsolve(x^4-x^3-x^2-x-2,x);
-1.,2.
>fsolve(cos(x)=x);
0.739

Maxsus differentsial tenglama va ularning sistemalarini yyechishda instrumental DEtools paketidan foydalaniladi. Bu paketda bir kator buyruqlar mavjud.

Differentsial tenglamalarni yechimlarini topishda dsolve buyrug’idan foydalaniladi.Ushbu buyruqning harakterli xususiyatlarini keltiramiz.
dsolve(eqns,vars) eqns tenglamani vars noma’lum buyicha yyechish,
dsolve(eqns+inits,vars) eqns tenglamani inits boshlangich shartlar bo’yicha Koshi masalasini yyechish.
Shuningdek, qushimcha shartlarni (option) kursatish mumkin:
laplace Laplas transformantidan foydalanish;
series qatorga yoyilmasini ishlatish;
explicit tegishli o’zgaruvchi bo’yicha yechimni aniq ifodalash ;
numeric Koshi masalasini soni yyechish.
Tenglamani to’zishda hosilani kursatish uchun diff, boshlangich yoki chegaraviy shartlarda hosilani ifodalashda esa D buyrug’i ishlatiladi.
Differentsial tenglamalar sistemasini yyechishda dsolve buyrug’ini ishlatilishiga doir misolar qaraymiz.
>deqn:=diff(y(x), x$2)+3*diff(y(x),x)+2*y(x);

>dsolve(deqn,y(x));

Bu yerda S1 va S2 - ixtiyoriy doimiylar.
Chegaraviy shart quyib, shu tenglamani yechamiz.
>bvp:=y(0)=0,y(1)=1;

>dsolve({deqn,bvp},y(x));

Agar aniq yechim chiqmasa u holda dsolve yechimni qatorga (opsiya series) yoyilgan ko’rinishdagi Laplas almashtirishni (opsiya laplase) usuli yoki sonli yechimi uchun yul berishi mumkin. dsolve komondasining ishi natijalari numeris optsiyasi bilan yagona qiymati yoki yechimning berilgan oraliqdagi grafigini yasash uchun prasedurasini ko’rish mumkin
>init:=y(0),D(y)(0)=1;
init:=y(0)=0,D(y)(0)=1;
>F:=dsolve({deqn,init},y(x),numerik);
F:=proc(x)`dsolve/numeric/result`(x1524608,[2]) end
>F(.5);
(x=.5000000000,y(x)=.2386512229)
>plot[odeplot](F,[x,y(x)],0..7,labels=[x,y]);
Takidlaymizki keltirilgan misolda yechimning grafigini yasash uchun plots paketidagi odeplot buyrug’idan foydanalingan bu DEtools paketidagi buyruqlarga qaraganda ishlatilishi birmuncha yengil.




Topshiriqlar:
Quyidagi tenglama va tenglamalar sistemalarini Maple dan foydalanib eching.
1.
2.
3.
4.
5.
6. 7.
8. 9.
10. 11.
12. 13.
14. 15.
16. Quyidagi differensial tenglamalar va ularning sistemalari Maple yordamida yechilsin.
1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. 

9.

10. 

11.
y(0)=0, z(0)=1.
12.
y(0)=0, z(0)=1.
13.
y(0)=0, z(0)=1.
14.
y(0)=0, z(0)=1.
15.
y(0)=0, z(0)=1.