6 -ma’ruza Laplas almashtirilishi, uning xossalari. Originallar sinfi, tasvirlar sinfi. Operatsion hisobning asosiy teoremalari


Download 0.64 Mb.
Pdf ko'rish
Sana15.12.2020
Hajmi0.64 Mb.
#167809
Bog'liq
6-ma’ruza


 

6 -ma’ruza     



Laplas almashtirilishi, uning xossalari. Originallar sinfi, tasvirlar sinfi. 

Operatsion hisobning asosiy teoremalari 

Ma’ruza rejasi:  

1. Laplas almashtirishi. 

2. Original va tasvir.   

3. Operatsion hisobning asosiy teoremalari. 



Laplas almashtirishi 

Haqiqiy o’zgaruvchili 

     funksiyaning Laplas almashtirishi deb  

        


 

 

     



   

                                           (1) 

formula  bilan  aniqlanuvchi  kompleks  o’zgaruvchili 

      funksiyaga  aytiladi,  bu 

yerda 

            



Integral  kompleks 

   parametrga  bog’liq  bo’lib,  unga  Laplas  integrali 

deyiladi. 

     funksiya qanday shartlarni qanoatlantirishi kerakki, (1) xosmas integral 

yaqinlashuvchi bo’lib haqiqatan ham biror 

     funksiyani aniqlasin? 

Faraz qilaylik quyidagi shartlar bajarilsin: 

1. 


      funksiya         da  bo’lakli  uzluksiz,  demak  funksiya  uzluksiz 

yoki faqat birinchi tur uzilishga ega (har bir chekli oraliqda uzilishlar soni chekli); 

2. 

Barcha 


      larda          ; 

3. 


 

        da  |    |  funksiyaning  o’sishi  ko’rsatgichli  funksiyadan 

oshmaydi, ya’ni shunday  

      va   mavjudki, barcha   larda 

|    |     

  

                                               (2) 



 

(2) tengsizlik o’rinli bo’ladigan barcha 

  qiymatlarning quyi chegarasi   

 

 



qiymatga funksiya o’sishining ko’rsatgichi deb ataladi. 

3-shart  Laplas  integrali  yaqinlashishini  ta’minlaydi.  Bu  shartni  barcha 

chegaralangan  funksiyalar,  shuningdek  barcha 

 

 



             darajali  funksiyalar 

qanoatlantiradi. 



Original va tasvir 

1-Ta’rif.  1-3  shartlarni  qanoatlantiruvchi  ixtiyoriy   

      funksiya  original 

deb ataladi; (1) foormula bilan aniqlanuvchi 

     funksiya esa      funksiyaning 

tasviri deb ataladi 

Original va unga mos tasvir orasidagi bog’lanishni 

           ,                 yoki   [    ]        

ko’rinishda belgilaymiz. 

Shuni  ta’kidlash  lozimki,  fizik  jarayonlarni  ifodalaydigan  funksiyalarning 

aksariyati 1-3 shartlarni qanoatlantiradi. 

Operatsion  hisobning  ustunlik  jihati  shundaki,  differensiallash  amali 

ko’paytirish bilan, integrallash esa bo’lish bilan almashinadi. 

Operatsion  hisob  va  uning  tadbiqlari  uchun  muhim  bo’lgan  ba’zi 

funksiyalarning tasvirlarini topishga doir misollar qaraymiz. 



1-Misol. Quyidagi funksiyalarning tasvirlarini toping. 

► a) Birlik funksiya va uning tasviri. 



 

Xevisaydning birlik funksiyasini qaraymiz: 



       {

          

            

Bu funksiyaning tasvirini hisoblaymiz    

                        

        


 

 

 



   

      


 

   


 

|

 



 

 

 



 

 

 

Bu tenglik 

        shart bajarilganda o’rinli. Demak 

      

 

 



 

(3) 


Agar 

     funksiya uchun 1 va 3 shartlar bajarilib 2 shart o’rinli bo’lmasa, u 

holda  

                     {



          

               

funksiya uchun 2 shart bajariladi va bu funksiya original bo’ladi. 

(3)  tenglikda 

      ko’paytuvchini  ko’paytuvchini  tushirib  qolamiz  va 

funksiyani  

      da nolga teng deb hisoblaymiz. Bu holda  

   


 

 

  



b) 

        


  

                             . 

        

 

 



 

   


 

  

      



 

 

 



       

   


Bu integral 

               demak           da yaqinlashuvchi va  

      

 

     



 

ya’ni 


 

  

 



 

     


  

c) 


               bu yerda   ixtiyoriy haqiqiy son. 

Ma’lumki, 

        

 

 



   


   

    


]  

Shuning uchun ta’rif bo’yicha 

        

 

 



 

   


           

 

 



 

 

 



 

   


 

   


    

 

 



 

 

 



 

   


 

    


  

 

 



 

 

 



 

 

        



    

 

 



 

 

 



 

        


    

 

         



 

 

         



 

 

 



 

   


 

  

Shunday qilib  



        

 

 



 

   


 

   bu yerda          

c)  Xuddi yuqoridagi kabi amallarni bajarsak 

        


 

 

 



   

 

 



munosabatni hosil qilamiz (tekshiring). 

 

d) 



        

   


      ,     kompleks son. 

Ta’rifga ko’ra 

        

 

 



 

   


 

   


           

 

 



 

 

 



 

   


 

   


   


   

    


)     

 

 



 

 

 



 

 

          



    

 

 



 

 

 



 

          

    

 

             



 

 

             



  

 

     



       

 

   



 

                   

Shunday qilib 

 

   



        

     


       

 

   



 

  

e)  Xuddi shu singari 



 

   


        

 

       



 

   


 

 

munosabat o’rinli bo’ladi (mashq sifatida tekshiring); 



f) 

           ,     kompleks son  

      

 

  



   

   


 

 

Shuning uchun 

        

 

 



 

   


        

 

 



 

 

 



 

   


  

  

   



   

      


 

 

 



 

 

 



 

       


    

 

 



 

 

 



 

       


    

 

        



 

 

        



 

 

 



 

   


 

  

bu yerda



 

      |   | 

Demak,  

           

 

   


 

   


g) 

           

 

   


 

         |   |  (mashq sifatida tekshiring).◄ 

Endi  har  qanday  original  uchun  tasvir  mos  kelishi  haqidagi  teoremaga 

o’tamiz. Quyidagi teorema o’rinli: 



1-Teorema.  Har  qanday 

      original  funksiya  uchun,         

 

  yarim 


tekislikda  (1)  tenglik  bilan  aniqlanuvchi 

      tasvir  funksiya  mavjud  va  ushbu 

yarim  tekislikda 

      analitik  funksiyadan  iborat,  bu  yerda   

 

   original 



funksiyaning o’sish ko’rsatgichi. 

  Original  funksiya  ta’rifining  3-shartiga  ko’ra    |

    |     

 

 



 

.  Agar 


           bo’lsa | 

   


|    

   


  shuning uchun 

|     


   

|     


 

 

 



 

   


    

     


 

  

 



Bu yerdan  

 



 

     


   

  |    


 

 

|     



   

|       


 

 

 



     

 

  



    

 

     



 

 

Shunday qilib 



|    |   | 

 

 



     

   


  |  

 

     



 

 

Bu  yerdan  (1)  integralning  mutlaq  yaqinlashuvchi  ekanligi  kelib  chiqadi,  ya’ni 

tasvir funksiya mavjud. ◄ 


 

Natija. Agar 

     original bo’lsa, u holda     

     


         

►  Agar   

      ning  o’sish  ko’rsatgichi   

 

            bo’lsa  yuqorida 



isbotlanganiga ko’ra 

|    |  


 

     


 

 

Agar bu tengsizlikda 



            da limitga o’tsak     

     


        .◄ 

Operatsion hisobning asosiy teoremalari 

Bevosita  ta’rif  yordamida  tasvirni  topish  har  doim  ham  mumkin 

bo’lavermaydi, chunki hisoblanishi kerak bo’lgan integral murakkablashib ketishi 

mumkin. Biz Laplas almashtirishining shunday xossalariga to’xtalamizki, ular bir 

qancha sinfdagi  funksiyalarning  tasvirini  topish imkonini beradi. Bundan tashqari 

ular tasvir ma’lum bo’lsa, originalni tiklash usullarini ifodalaydi. 



2-Teorema.  (Originalning  yagonaligi)  Agar 

 

 



     va  

 

     funksiyalarning 



tasvirlari  o’zaro  teng  bo’lsa,  bu  funksiyalar  uzluksiz  bo’ladigan  barcha 

      


nuqtalarda ustma ust tushadi. 

3-Teorema.  (Chiziqlilik)    Agar 

             va               bo’lsa,  u 

holda ixtiyoriy 

  va   kompleks sonlari uchun 

  

                                                        (4) 



►Ta’rif  bo’yicha 

               funksiyaning  originalini  integralning 

chiziqliligidan foydalanib topamiz 

 [             ]    

 

 

[             ] 



   

     


    

 

 



     

   


       

 

 



     

   


                    ◄ 

Chiziqlilik  teoremasiga  misol  tariqasida 

        funksiyaning  tasvirini 

topamiz. 

        

 

  



   


   

    


)  

 

  



(

 

      



 

 

      



)  

 

 



 

   


 

 

4-Teorema.  (O’xshashlik)  Agar 

             bo’lsa,  u  holda  ixtiyoriy 

      uchun  

       

 

 



  (

 

 



(5) 


► 

       funksiyaning  tasvirini  hisoblash  uchun,  integralda         

almashtirish bajaramiz: 

 [     ]    

 

 

      



   

    


 

 

 



 

 

      



 

 

   



       

 

 



 

 

 



     

 

 



  

       


 

 

 



  (

 

 



(5) munosabatni hosil qoldik.◄ 



5-Teorema. (Siljish) Agar 

                       bo’lsa, u holda 

 

  

                                          (6) 



►Ta’rif bo’yicha 

 

  



     ning tasvirini topamiz 

 [ 


  

    ]   


 

 [ 



  

    ]    

 

 

 



  

     


   

      


 

 

     



       

              ◄ 

Demak,  siljish  teoremasiga  ko’ra  originalni 

 

  



  ga  ko’paytirish,  tasvir 

argumentining 

  qiymatga siljishiga olib kelar ekan. Bu teorema yordamida, agar 

      funksiyaning  tasviri  ma’lum  bo’lsa,   

  

      funksiyaning  tasvirini  topish 



mumkin. Masalan,  

 

  



      

     


       

 

   



 

  

 



  

      


 

       


 

   


 

 

6-Teorema. 

(Originalni 

differensiallash) 

Agar 

              va 



       

 

                 



   

    bu      originalning hosilalari bo’lsa, u holda  

 

 

                    



         

 

                      



 

   


       

 

        



   

             

     

       


     

       (7) 

►Ta’rifga ko’ra  

 [ 


 

   ]    


 

 

 



 

    


   

   


Bu  integralni  bo’laklab  integrallaymiz: 

     


   

        


 

               

   

   


        , demak 

 [ 


 

   ]    


 

 

 



 

    


   

      


   

     |


 

      


 

 

     



   

   


      funksiyaning  o’sish  tezligi       dan  katta  bo’lganligi  uchun         da 

   



    |    .    Shuning uchun  

 

                  . 



 

       ning  tasvirini  topish  uchun  bu  usulni  ikki  marta  qo’llaymiz.  Agar 

 

   


    tasviri uchun bu usulni   marta qo’llasak (7) formula kelib chiqadi. ◄ 

Agar 


 

   


                    

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ bo’lsa, (7) formula soddalashib  

 

   


       

 

     



ko’rinishga keladi. Xususan 

 

 



             

2-Misol. 

  

  



           

  

       funksiyaning tasvirini toping. 



►  Ma’lumki, 

 

  



                   

 

   



 

 .  Agar  bu  yerda  originalni 

differensiallash teoremasini qo’llasak 

  

  



       

 

   



 

       


 

   


 

   


   

      |


   

 

yoki  



  

  

           



  

                    

 

   


 

 . ◄ 



7-Teorema. (Originalni integrallash) Agar  

            bo’lsa, u holda 

 

 

 



                                                 (8) 

► Agar 


      original bo’lsa,   

        


 

 

       



 

ham original bo’lib 



 

 

          ,          tengliklar o’rinli. Agar             



bo’lsa,   

      ni  differensiallab,  originalni  differensiallash  teoremasiga  asosan  

        

 

           , ya’ni              ga ega bo’lamiz. Demak  



 

 

 



                        ◄ 

8-Teorema. (Tasvirni differensiallash) Agar 

            bo’lsa, u holda 

 

   


          

 

                                            (9) 



► 

      funksiya         

 

  (


 

 

         funksiyaning  o’sish  tezligi)  yarim 



tekislikda  analitik  bo’lganligi  uchun,  uning  ixtiyoriy  tartibdagi  hosilasi  mavjud. 

Shunga asosan  

     funksiyadan hosila olsak,       

 

 



       

 

 



 

  



   

    )      

 

 

 



   

(      )   

demak, 

 

 



               

          

 

                        



 

     

(9) formulani keltirib chiqarish uchun induktsiya usulini qo’llash mumkin. ◄ 

3-Misol.  

 

 



 funksiyaning tasvirini toping 

►  Buning uchun 

    

 

     funksiyalarning tasvirlarini yuqoridagi teoremaga 



asosan topamiz 

              (

 

 

)



 

 

 



 

 

 

 

 

            (



 

 

 



)

 

 



 

 

 



 

va hokazo bu jarayonni 

  marta takrorlasak 

 

 



 

  

 



   

 

ni hosil qilamizAgar bu yerda siljish teoremasini qo’llasak 



 

   


 

 

 



  

       


   

 

bo’ladi.◄ 



4-Misol.  Quyidagi  funksiyalarning  tasvirlarini  tasvirni  differensiallash 

teoremasidan foydalanib hisoblang. 

►a) 

               . Tasvirni differensiallash teoremasiga asosan 



             (

 

 



 

   


 

)

 



 

 

 



   

 

  



 

   


 

 

 



  

b) 


                

             (

 

 

 



   

 

)



 

 

   



  

 

   



 

 

 



  

c) 


              

          (

 

 

 



   

 

)



 

 

 



 

   


 

  

 



   

 

 



 

  

a) 



             

 

          (



 

 

 



   

 

)



 

 

   



  

 

   



 

 

 



 

munosabatlarni hosil qilamiz. ◄ 



9-Teorema.    (Tasvirni  integrallash)  Agar 

            va         original 

bo’lsa, u holda 

    


 

   


 

 

       



(10) 

   ► 


                bo’lsin.        funksiyani  (         yarim  tekislikda 

analitik) differensiallab topamiz  

        

 

 



    

 

 



   

   


 

 

        



 

 

 



   

               

Bu tenglikni 

       da integrallasak 

               

 

 



       

1-Teoremaning natijasiga ko’ra  

          va  

        


 

 

       



ya’ni 

          

 

 

        ◄ 



5-Misol.  Integral sinus 

    ning tasvirini toping: 

     

 

 



 

     


 

   

►9-Teoremaga asosan 

     


 

   


 

 

 



     

 

             |



 

   


 

 

          



Oxirgi munosabatga originalni integrallash teoremasini qo’llaymiz, u holda 

     


    

 

 



 

 

(



 

 

         ) 



munosabatga ega bo’lamiz.◄ 

10-Teorema. (Originalning kechikish teoremasi) 

Agar 


            va       bo’lsa, u holda 

 

            



   

                                     (11)  

► 

          ning  tasvirini  topish  uchun  integralda  o’zgaruvchini 



almashtiramiz 

 [        ]    

 

 

         



   

     |


         

 

       



 

|    


 

  

   



 

  

    



 

   


  

 

  



   

 

 



   

 

  



   

 

 



   

  

 



   

   


 

 

 



   

 

  



   

 

  



 

   


   

    . ◄ 



 

Bu  teoremada  kechikish  so’zining  ma’nosi  quyidagicha: 



      va           

bir  xil  funksiyalar  bo’lib,  farq  shundaki, 

          funksiya  grafigi        ga 

gisbatan


   birlik o’ngga surilgan (1 rasm).  

 

 



 

 

 



 

 

 



 

Demak,  fizik  jihatdan 

      va            funksiyalar  bir  xil  jarayonni  ifodalaydi 

faqatgina 

         funksiya ifodalaydigan jarayon   vaqtga kechikib boshlanadi. 

2-Ta’rif.  

  va   funksiyalarning       ko’rinishda belgilanadigan o’ramasi 

deb 

              



 

 

                                            (12) 



tenglik bilan aniqlanadigan funksiyaga aytiladi. 

6-Misol.       

         ,           

 

 funksiyalarning o’ramasini toping. 



► Bu funksiyalarning (12) o’ramasini bo’laklab integrallaymiz 

     


 

   


 

 

  



   

     |                        

   

  

                           



   

|      


   

 



   

 

 



 

   


    

        


   

 



            

 

 



Demak, 

     


 

   


 

         ◄ 



11-Teorema     (Tasvirlar ko’paytmasi) Agar 

           ,            , u 

holda 

       funksiyalar o’ramasining tasviri tasvirlar ko’paytmasiga teng: 



 

               

 

 

                                        (13) 



 

       o’ramaning tasvirini hisoblaymiz 

 [           ]    

 

 



 

 



                 )  

   


   

Bu ikki karrali integralning integrallash sohasini qaraymiz: 

                      

(2 rasm). Agar integrallash tartibini o’zgartirsak 

                    . Demak 

 

 



 

 

 



 

 

 



t

 

t

 

1- rasm 


t=𝜏 

𝜏 

2- расм 


 

 [           ]    



 

 

   



 

 

                



   

   


Ichki integralda 

         

 

 ko’rinishda almashtirish bajaramiz, u holda 



 [           ]    

 

 



     

   


   

 

 



   

 

  



   

 

  



 

 

O’ng  tomondagi  ifoda  ikkita  integralning  ko’paytmasi  bo’lib,  ular  mos  ravishda 



     va      funksiyalarning tasvirlaridan iborat. 

 

Demak 



                . ◄ 

7-Misol. Funksiyaning originalini toping: 

      


   

  

 



   

 

 



 

  

► Tasvirni ko’paytma shaklida yozamiz: 

   


  

 

   



 

 

 



     

 

 



 

   


 

 

  



 

 

   



 

  

Bu yerdagi ikkita ko’paytuvchi mos ravishda 



      va      funksiyalarning 

tasvirlari. Tasvirlar ko’paytmasi formulasiga asosan 

          

 

 



 

   


 

 

  



 

 

   



 

    


 

 

                      



 

 

 



 

 

 



  

  

   



   

 ( 


      

   


       

)      


 

 

[                  ]     



  [       

 

  



           ] |           

Demak 


       

   


  

 

   



 

 

 



 

bo’lar ekan.◄ 

Tasvirlar  ko’paytmasining  maxsus  ko’rinishi,  ya’ni   

           ning 

originalini  topish  formulasini  keltirib  chiqaramiz.  Quyidagicha  almashtirish 

bajaramiz 

                                          

Originalni  differensiallash  teoremasiga  ko’ra   

                

 

   . 



Demak, tasvirlar ko’paytmasi va Laplas almashtirishining chiziqliligiga ko’ra 

             

 

                      



yoki 

             

 

 

                                             (14) 



(14) tenglik Dyuamel formulasi deb ataladi. 

Endi  Laplas  almashtirishining  bu  bo’limda  o’rganilgan  xossalari,  ular 

yordamida hosil qilingan ba’zi elementar va tadbiqlarda ko’p uchraydigan maxsus 

funksiyalarning tasvirlari jadvalini keltiramiz. 



Original- tasvirlar jadvali 

Original 

Tasvir 


10 

 

1. 



  

 

 



 

2. 


       

 

 



 

   


 

 

3. 



       

 

 



 

   


 

 

4. 



     

 

 



 

   


 

 

5. 



     

 

 



 

   


 

 

6. 



 

  

 



 

     


 

7. 


 

   


       

 

       



 

   


 

 

8. 



 

   


       

     


       

 

   



 

 

9. 



 

  

            



                       

       


 

   


 

 

10. 



 

  

            



                       

       


 

   


 

 

11. 



  

 

 



 

 

12. 



 

 

 



  

 

   



 

13. 


 

 

 



  

 

  



       

   


 

14. 


         

   


  

 

   



 

 

 



 

15. 


         

 

 



   

 

  



 

   


 

 

 



 

16. 


      

   


  

 

   



 

 

 



 

17. 


      

 

 



   

 

  



 

   


 

 

 



 

18. 


            

          

 

   


 

 

   



 

19. 


            

          

  

   


 

 

   



 

20. 


        

 

 



 

 

 



     

11 

 

21. 



    

 

 



 

 

 



       

22. 


       

 

  



 

   


 

     


23. 

 

   



           

                         

     

        


 

 

     



24. 

      


            

 

 



Download 0.64 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling