Analitik geometriya páninen Dezarga, Paskal hám Brainshon teoremalari. Avtopolyar tetraedr temasındaǵı Kurs jumısı

Ózbekstan Respublikası Joqarı hám orta arnawlı bilimlendiriw Ministirligi
Berdaq atındaǵı Qaraqalpaq mámleket universiteti
fakulteti
kafedrası
2-kurs studenti Erimbetov Nursiltannıń
Analitik geometriya páninen

Dezarga , Paskal hám Brainshon teoremalari .Avtopolyar tetraedr temasındaǵı
Kurs jumısı

Orınlawshı : Erimbetov.N

Qabıl etiwshi:

NUKUS-2023

Mazmuni:
I.Kirisiw…………………………………………………………………………3
II.Tiykarǵi bólim…………………………………………………………………..5
a) Dezarga , Paskal teoremalari ……………………..……….………………..9
b) Brainshon teoremasi…………………………….. ……………….…………13
c) Avtopolyar tetraedrlar……..…………………………………………………17
III.Juwmaqlaw………………………………………………………………….19
IV.Paydalanilg’an a’debiyat…………………………………………………….20

Kirisiw.
Chall teoremasina uqsas munasábetler bar. Bul materialdıń kitapǵa kiritiliwi analitik geometriyaning eń ápiwayı máseleleri (eki noqat arasındaǵı aralıq, berilgen koefficientte segmenttiń bóliniwi, úshmúyeshliktiń maydanı, tetraedr kólemi) menen baylanıslı formulalar boyınsha ulıwma juwmaqlar beriwge múmkinshilik beredi.), sonıń menen birge, ush noqattıń bir tuwrı sızıqqa tiyisli bolıwı hám bir tegisliktegi tórtew noqattıń a'zoligi ushın zárúr hám etarli shártni alıw. Analitik geometriya boyınsha eń ápiwayı sorawlar tuwrı sızıqta, tegislikte hám keńislik izbe-iz berilgen. Bul jaǵday, sonıń menen birge, jóneltirilgen keńisliktiń jóneltirilgen tegisligi kontseptsiyasınıń kiritiliwi kurstı úyreniwdiń basıdanoq ámeliy shınıǵıwlarda (l - lI baplar ) máseleler temaların sezilerli dárejede keńeytiw imkaniyatın beredi. ll l bap sızıq hám sirt teńlemeleri túsinigine arnalǵan (Iv-III baplardı oqıp shıqqannan keyin eń jaqsı sheshiledi). Lv bapta vektor suwretlengen

algebra.
Tegisliktegi hám keńislikgi sızıqlı suwretler v bapta (tegisliktegi tuwrı sızıq ) hám vI bapta (tegislik hám keńislikgi tuwrı sızıq ) berilgen.
vlI bapta Dekart koordinata sistemasınıń ózgeriwine tiyisli materiallar ámeldegi (bul Eyler múyeshlerin de óz ishine aladı ).
vIIl bapta dástúriy material ekinshi tártipli sızıqlardıń kanonik teńlemeleri boyınsha, KX bapta bolsa ekinshi tártipli ústlerdiń kanonik teńlemeleri keltirilgen. X bapta quramalı tegislik hám quramalı keńislik haqqında maǵlıwmat berilgen. X bap! ekinshi tártipli sızıqlardıń ulıwma teoriyası, XII bapta bolsa ekinshi tártipli betlerdiń ulıwma teoriyası kórsetilgen;
XIII bapta kartalaw, transformaciya hám transformaciya gruppaları túsinikleri kórsetilgen.

Jl sızıqlı kartalaw (hám transformaciya ) - ush noqattıń bir tuwrı sızıqqa tiyisliligin saqlaytuǵın hám ápiwayı munasábetti saqlaytuǵın kartalaw (1 lav X Iv); bul degeneratsiyalangan sızıqlı transformaciyalardı orawǵa muvaffaq boladı. Jaqınlıq transformaciyası Birma -bir sızıqlı transformaciya retinde anıqlanadı. Tap sol XIv bapta sızıqlı ózgertiwdiń tán vektorları haqqında maǵlıwmat berilgen hám afinik ózgerislerdi ortogonal hám óz-ózinen qosıwdıń kóbeymesi retinde súwretlew haqqındaǵı tiykarǵı teorema tastıyıqlanǵan. Pútkil prezentaciya bir waqtıniń ózinde n keńislik tegisligi ushın ámelge asıriladı.

X\/' bapta proyektiv geometriyaning elementleri kórsetilgen.
Kitap tórtew qosımshanı óz ishine aladı.
I qosımshada jóneltirilgen úshmúyeshlikler hám tetraedrlar shınjırların kórip shıǵıw arqalı tegislik hám keńislik orientatsiyasi túsinigi keltirilgen; bul erda baylanıslı barlıq tariypler tek tártip baylanıslılıǵı hákisiomalari paydalanıw (hám ter, mısalı, hesh qanday ózgeriwsiz samolyot Lobachevskiy keńislikke tiyisli bolıwı múmkin).
II-qosımshada ekinshi dárejeli kóp aǵzalılardıń eki hám ush ózgeriwshindegi metrik invariantlari bir ulıwma Dekart koordinata sistemasınıń basqasına ózgeriwine salıstırǵanda suwretlengen. vektor hám noqattıń kovariant hám kontravariant koordinataları túsinikleri berilgen; metrik tenzor túsinigin túsintiredi Lv qosımshada proyeksiyalaytuǵın TAKS hám proyeksiyalıq keńislikgi proyeksiyalaytuǵın koordinatalar túsinigi keltirilgen, Dezarg, Paskal, Brianxon teoremalarining tastıyıqları keltirilgen. Tiykarǵı tekstte men bir hil koordinatalardı esapqa alıw menen sheklenedim. Akademikalıq P. S. Aleksandrovga qoljazbani kórip shıqqanı, Joqarı geometriya hám tapologiya kafedrasında talqılaw etkeni, bildirilgen barlıq oy-pikirler hám máslahátlar ushın tereń minnatdorchiligimni bildiremen. Men professor Yu. M. Smirnovdan kóplegen qımbatlı oy-pikirler aldım.

Dezarga,Paskal ha'm Brianshon teoremalari'.

Biz proeksin tegisliktisiziqlar ha’m trgisliklerdin’ S toplami retinde tu’sinemiz u’sh o’lshemli Evklid ken’isligi (ekinshi model).Esletip o’temiz , tuwri’ birikpeler proektiv tegisliktin’ <> , proektiv tegislikler bolsa <> dep ataladi’.(1-su’wret)
K elin’, S de to’rt tuwri’ o₁ , o₂ , o₃ , e yag’niy qa’legen u’shewi bir tuwri’da jatpaydi’. E tuwri’ni’n’ S ten parqli’ qa’legen noqati’n ali’p , sol arqali’ u’sh tegislik o’tkeremiz ,
1-su’wret

2-su’wret

olardan birewi parallel o₁ ha’m o₂ tuwri’lari’na , basqasi’ o₂ ha’m o₃ tuwri’lari’na parallel, al u’shinshisi o₃ ha’m o₁ lerge parallel. (2-suwret)
Si’zi’lg’an tegislikler mas ra’wishte o₁ , o₂ , o₃ tuwri’lar menen T₁ , T₂ , T₃ noqatlari’nda kesilissin.
m- baylanistin’ qa’legen tuwri’si’zi’g’I’ bolsi’n. Oni’n’ u’stinen S ten parqli’ qa’legen M noqati’n alami’z. Onda x₁ , x₂ , x₃ koordinatalar M noqat uli’wmali’q Dekart koordinatalar sistemasindag’I kelip shi’giwi’ S ha’m masshtab segmentleri ST₁ , ST₂ , ST₃ <> m nin’ proektiv koordinatalari’ delinedi. Bizge belgili , <> m x₁ , x₂ , x₂ koordinatalari’na iye bolsa , onda oni’n’ koordinatalari’da u’sh kx₁ , kx₂ , kx₃ iye .Bul jerde k-nolden parqli qa’legen haqiyqiy san .Bunnan tisqari’, soni aytip o’tiw lazi’m, eger siziqti’n’ basqa noqati’n saylasaq (ja’rdemshi Dekart koordinatalar sistemasi’n si’zi’w ushi’n ) ol jag’dayda jan’a shkala vektorlari’ uli’wmali’q Dekart koordinatalar sistemasi’ ST₁ , ST₂ , ST₃ vektorlarina proporcional ha’m demek <> m proektiv koordinatalari’ x₁ , x₂ , x₃ birdey sanlardi’n’ proporciyanal u’shlikleri klasi’n payda etedi.
o₁ , o₂ , o₃ noqatlar fundamental dep, e-birlik ; olar keying proektiv koordinatalarg’a iye :o₁ (1;0;0), o₂ (0;1;0), o₃ (0;0;1), e(1;1;1).
Solay etip, proektiv tegisliktegi proektiv koordinatalar sistemasi’(ol ekinshi model ko’rinisinde a’melge asi’ri’lg’an jag’dayda), eger oni’n’ u’stinde to’rt <> O , O , O , e qa’legen tu’rde saylang’an bolsa , olardi’n’ ha’r biri u’shewden tiyisli bolmag’an halda ani’qlanadi’, ha’m bir si’zi’q ha’m to’mendegi koordinatalar tayi’nlanadi’.
1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1 , 1;1;1
Qa’legen baylani’si’w tegisliginin’ ten’lemesi (joqari’dagi’ Dekart koordinata sistemasi’nda) ko’rinisine iye.
u₁x₁ + u₂x₂ +u₃x₃ = 0
ha’m kerisinshe, x₁ ,x₂ ge qarata birinshi da’rejeli ha’r qanday bir tekli ten’leme,toplam tegisliginin’ ten’lemesi dep ataladi’.
Solay etip, proektiv tegisliktin’ ha’r qanday si’zi’g’i’ birinshi da’rejeli birdey ten’leme menen an’lati’ladi’ ha’m kerisinshe.
Si’zi’q tenlemesindegi koeffisentlerden ali’ng’an proporcional u’shlik sanlardi’n’ klas u₁ , u₂ , u₃ bul si’zi’qti’n’ proektiv koordinatalari’ dep ataladi’.
<> m proektiv koordinatalari’ menen birgelikte bilay belgilenedi:
m (x₁ ; x₂ ;x₃), al λ bolsa; λ [u₁ ; u₂ ; u₃]
Kelin’ , noqatti’n’ proektiv koordinatalari’ isde qanday qollani’li’wi’n ko’rsetemiz, eger proektiv tegilsik Evklid dep esaplansa, tiyisli emes noqatlar menen tolti’ri’lg’an.
Ken’slikte qa’legen π tegislikti ali’p ,oni prokciyalawshi’ P g’a deyin tolti’rami’z. Evklid ken’isliginen qa’legen tegislikti tan’laymi’z . S noqat π tegislikte jatpaydi’ ha’m S noqatta kesilisiwshi bir neshetuwri’lardi’ ha’m tegisliklerfi ko’rip shi’g’ami’z(3-su’wret).m tuwri’da jati’wshi’ M noqati’n alami’z , yag’niy m tuwri’ P tegislikti kesip otetug’in , eger m tuwri’ Evklid ken’isligi π ge parallel bolsa, P tegislikti kesip o’tiwshi noqatti’ P tegisliktin’ tiyisli emes noqati’ ,yag’niy π tuwri tegisligi penen tutasti’ri’lg’an parallel tuwri’ m ge tiyisli.
S noqat penen tutastiriw retinde a’melge asi’ri’lg’an proekciyalwshi’ tegisliktin’ noqatlari’ arasindag’I’ du’zilgen masli’q (2-model) ha’m tiyisli emes noqatlar menen tamamlang’an Evklid tegisligi ta’repinen (1-
3-su’wret model) toplami’ perspektivli delinedi.
Perspektiv jaziwlar birme-bir boli’p , bir waqi’tti’n’ o’zinde birdey si’zi’qqa (1-modelde) tiyisli bolg’an ha’r qanday u’sh noqatqa ha’m sol si’zi’qqa tiyisli noqatlardag’I’ lazispalarg’a (2-modelde) tiyisli.
Proektiv tegisliktin’ ekinshi modelinde proektiv koordinatalar sistemasin belgileyik. Keyin ha’r bir noqat proektiv koordinatalarg’a iye boladi. M tegisliginin’ qa’legen noqati’ bolsi’n ha’m m ko’rsetilgen perspektivde og’an tuwri’ keletug’I’n noqat bolsi’n. M noqatti’n’ x , x , x koordi’natalari’ m noqat penen birdey dep oylayi’q ha’m olardi’ M noqatti’n’ koordinatalari’ dep ataymi’z.
o₁ , o₂ , o₃ , e tuwri’lar P tegislikti O₁ , O₂ , O₃ , E noqatlarda kesip o’tsin. O₁ , O₂ , O₃ noqatlari’ fundamental dep atalip, yamasa bazislik, P tegisliktegi proektiv sistema koordinatalari’,al noqat E – birlik noqat .
Eger P tegisliginde qa’legen u’shewi bir tuwri’da jatpaytug’I’n O₁ , O₂ , O₃ , E noqatlari’n alsaq ,onda qa’legen M noqati’ P tegisligindegi proektiv koordinatalarg’a iye boladi’. Haqiyqati’nda da , biz P tegisliginde jatpaytug’I’n eki qa’legen S ha’m S’ noqatladi’ tan’laymi’z. SO₁ , SO₂ , SO₃ , SE tuwri’lardi’ sonday etip ko’shiriwge S’O₁ , S’O₂ , S’O₃ , S’E sonday affinlik ken’islik ozgeriwi, yag’ni’y π tegisliktegi hesh noqat ha’reketlenbeydi , al S noqat S’ noqatqa (π tegislikke qiya qi’sili’w).
Bul tranformaciyadan SM si’zi’g’I’ S’M si’zi’g’I’na aylanadi’. Bunnan kelip shig’adi’ , eger S ha’m S’ biriktiriwshilerinen birewinin’ tegislik proekciyasi’ a’melge asi’ri’lsa , P tegisliginin’ M noqati’ birdey proektiv koordinatalarg’a iye boladi’.P tegisligindegi M noqati’ni’n’ proekciyalawshi’ koordinatalari’ ja’rdemshi biriktiriwshinin’ S orayi’n tan’lawg’a baylani’sli’ emesligin ko’remiz(onin’ ja’rdeminde noqatti’n’ proekciyalawshi’ koordinatalari’ π tegislikke kiritiledi),eger tek O₁ , O₂ , O₃ tiykarg’I noqatlari’ ha’m E birlik noqati’ jaylassa , olar mas ra’wishte koordinatalar menen belgilenedi.
(1;0;0) ,( 0;1;0) , (0;0;1) , (1;1;1).
Endi π tegislikke uli’wmali’q Dekart koordinatalar sistemasi’ kiritilgen dep oylayi’q, XOY koordinatalari’ bunnan ti’sqari’ P tegislikte proektiv sistema kiritiledi. M noqatti’n’ proektiv koordinatalari’n belgileymiz x₁ : x₂ : x₃ ha’m x:y:z arqali’ bir tekli ( P tegisliktin’ tiyisli noqatlari’ ushi’n x/y ha’m y/z qatnaslari’ XOY sistemadag’I’ uli’wmali’q Dekart koordinatalari’ esaplanadi’). Proektiv koordinatalardi’ birdeylikke baylani’sti’ri’wshi’ formulalardi’ ornatami’z. Proektiv tegislik P O₁ , O₂ , O₃ birlik noqatlar ha’m E birlik koordinatali noqat (heshbir u’sh noqat bir tuwrida jatpaydi’):
O₁(a₁₁ , a₂₁ , a₃₁) , O₂(a₁₂ , a₂₂ , a₃₂) , O₃(a₁₃ , a₂₃ , a₃₃) , E(e₁ : e₂ : e₃).