Aniq integralni

_2. Aniq integralni taqribiy hisoblash

Odatda, aniq integrallar Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisoblanadi. Bu formula boshlang`ich funksiyaga asoslanadi. Ammo boshlang`ich funksiyani topish masalasi doim osongina hal bo`lavermaydi. Agar integral ostidagi funksiya murakkab bo`lsa, tegishli aniq integralni taqribiy hisoblashga to`g`ri keladi.

1⁰. To`g`ri to`rtburchaklar formulasi. Faraz qilaylik,

f (x)

funksiya [a, b]

segmentda berilgan va uzluksiz bo`lsin. Demak,

f (x) R([a, b]) .

b

Masala _f (x)dx

a

integralni taqribiy hisoblashdan iborat.

[a, b]

oraliqni

a x₀ , x₁ , x₂ ,..., x_n1 , x_n b

nuqtalar x₀ x₁ x₂ ... x_n 

yordamida ⁿ ta teng bo`lakka bo`lib, har bir

[x_k , x_{k 1} ]

(k 0,1,2,..., n 1)

bo`yicha integralni quyidagicha

taqribiy hisoblaymiz, bunda

x_k = a + k x_k+1/2 =

Aniq integral xossasidan foydalanib topamiz:

b ^x₁ ^x₂

^xk 1

_f (x)dx _f (x)dx 

_f (x)dx ... 

_f (x)dx ...

a x₀

^xn b a

x₁

b a

x_k

b a

... 

_f (x)dx 


n
^xn1

f (x₁ ) 

n

2

f (x

1

₁ ) 

n

2

f (x

2

₁ ) ...

2

... 

b a n

f (x

k 

₁ ) ... 

2

b a n

f (x

n

₁ ) 

2

b a n

[ f (x₁ ) 

2

Natijada

• 
  f (x
  

1

₁ ) ... 

2

f (x

k 

₁ ) ... 

2

f (x

n

₁ )].

2

b

_f (x)dx

a

integralni taqribiy hisoblash uchun quyidagi

^b _{b a}n1

formulaga kelamiz.

_f (x)dx 

a

_f (x ₁ )

ⁿ k 1 ^{k }₂

(1)

1. 
   formula to`g`ri to`rtburchaklar formulasi deyiladi. Endi (1) taqribiy formulaning xatoligini aniqlaymiz.
   

(1) formulaning xatoligini

^b _{b a} n1

deylik.

R_n _f (x)dx 

a

_f (x ₁ )

ⁿ k 0 ^{k }₂

(2)

Aytaylik, bo`lsin.

f (x)

funksiya

[a, b]

segmentda uzluksiz

f ^(x)

hosilaga ega

Avvalo R_n

ni quyidagicha yozib olamiz:

n1 ^{xk 1}

_{b a} n1

n1 ^{xk 1}

R_n _

f (x)dx 

n

_f (x

₁ ) _f (x)dx 

k
k 0 _xk

n1 ^{xk 1}

n1

k 0

^{k }₂ k 0 _x

k
_f (x

₁ )dx _[ f (x) 

f (x

₁ )]dx.

k 0

_x k ₂

k 0 ^{k }₂

Teylor formulasidan foydalanib topamiz:

1 ₂

f (x) 

f (x

k 

₁ ) 

2

f ^(x

k 

₁ ) (x x

k 

2

₁ ) 

2

2

f ^(_k

) (x x ₁ )

k 

2

(bunda _k

son ^x va x ₁

k 

2

sonlar orasida). Natijada

n1

^xk 1


1
2

R_n _

k 0 _xk

( f ^(x

)

1
x

₁ ) (x x

k 

2

₁ ) 

k  ₂

2

x

f ^(_k ) (x x ₁ )

k 

2

)dx 

n1


k
_( f ^(x

k 1

₁ ) _(x x

)dx ¹

1 ₂

k 1


k
_f ^(_k ) (x x

² )dx

bo`ladi.

k 0

k _{2 x} k <sub>2

x</sub> k ₂

^xk 1 _{ }

 

Ravshanki, <sub>

</sub>x xk _{1 }dx 0.

Demak,

^xk ^

2 

₁ n1 ^xk 1


2
R_n  _

k 0 _xk





f ^_k _x x






k _{1 }dx.

2 

O`rta qiymat haqidagi teoremaga binoan

^xk 1


k
^xk 1

_f ^(_k

) (x x

k ¹

)² dx 

f ^(^* )

_(x x

)² dx 

_1

x
k

^xk ² k <sup>2

2</sup> 3

_(x_{k 1} x_k )

f ^(^* ) ^{(b a)}

f ^(^* )

(^* [x , x ])

bo`ladi.

Shunday qilib,

12 ^k

R_n uchun ushbu

12n³

k k k

k 1

1 ^n1 (b a)³

R_n  _{ 3}

f ^(<sub>k

) </sub>(b a)


3
2

₁ n1


 _f ^(^* )
k

ifodaga kelamiz.

Ravshanki,

² k 0

n1

12n

24n

* *

ⁿ k 0

*

k
¹ _f ^(^* ) 

f ^(₀ ) (₁ ) ... 

f ^(_n1 )

miqdor


k
(^* [a,b],

ⁿ k 0

k 0,1,2,..., n 1)

f ^(x)

n

ning

[a, b]

oraliqdagi eng kichik

m^

hamda eng katta M ^

qiymatlar orasida,

m^ _f ^(^* ) M
₁ n1

k

bo`ladi.

Shartga ko`ra

f ^(x)

funksiya

ⁿ k 0

[a, b]

da uzluksiz. Uzluksiz funksiyaning

xossasiga muvofiq

(a, b) da shunday nuqta topiladiki,

f ^()  _f ^(^* )
₁ n1

k

bo`ladi.

Natijada R_n

uchun quyidagi

ⁿ k 0

tenglikka kelamiz.

Demak,



b

_{R }(b a)


3
ⁿ 24n²

n1

f ^()

3

bo`ladi.

f (x)dx ^{b a}

_a n



k 0

f (x ₁

k 

2

_{) }(b a)

24n²

f ^()

Shunday qilib, [a, b]

f (x) funksiyaning

oraliqda ikkinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega bo`lgan

b

_f (x)dx

a

integralini (1) tug`ri to`rtburchaklar formulasi yordamida taqribiy hisoblansa, bu taqribiy hisoblash xatoligi quyidagi

formula bilan ifodalanadi.

_{R }(b a)


3
ⁿ 24n²

f ^()

((a, b))

2⁰. Trapetsiyalar formulasi.

f (x) funksiyaning

b

_f (x)dx

a

integralini taqribiy hisoblash uchun, avvalo [a,b] segmentni

a x₀ , x₁ , x₂ ,..., x_n1 , x_n b

nuqtalar yordamida ⁿ ta teng bo`lakka bo`linadi. So`ng har bir

[x_k , x_{k 1} ]

(k 0,1,2,..., n 1)

bo`yicha integralni quyidagicha

^xk 1