Aniq integralni


Download 297.38 Kb.
bet1/4
Sana08.10.2020
Hajmi297.38 Kb.
  1   2   3   4






2. Aniq integralni taqribiy hisoblash

Odatda, aniq integrallar Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisoblanadi. Bu formula boshlang`ich funksiyaga asoslanadi. Ammo boshlang`ich funksiyani topish masalasi doim osongina hal bo`lavermaydi. Agar integral ostidagi funksiya murakkab bo`lsa, tegishli aniq integralni taqribiy hisoblashga to`g`ri keladi.

10. To`g`ri to`rtburchaklar formulasi. Faraz qilaylik,

f (x)

funksiya [a, b]


segmentda berilgan va uzluksiz bo`lsin. Demak,

f (x) R([a, b]) .


b

Masala f (x)dx

a

integralni taqribiy hisoblashdan iborat.

[a, b]

oraliqni

a x0 , x1 , x2 ,..., xn1 , xn b

nuqtalar x0 x1 x2 ... xn

yordamida n ta teng bo`lakka bo`lib, har bir

[xk , xk 1 ]

(k 0,1,2,..., n 1)

bo`yicha integralni quyidagicha





taqribiy hisoblaymiz, bunda

xk = a + k xk+1/2 =

Aniq integral xossasidan foydalanib topamiz:

b x1 x2

xk 1

f (x)dx f (x)dx

f (x)dx ...

f (x)dx ...

a x0

xn b a

x1

b a

xk

b a

...

f (x)dx


n
xn1

f (x1 )

n

2

f (x



1

1 )

n

2

f (x



2

1 ) ...

2


...

b a n

f (x

k

1 ) ...

2

b a n



f (x

n

1 )

2

b a n

[ f (x1 )

2


Natijada

    • f (x

1

1 ) ...

2

f (x



k

1 ) ...

2

f (x



n

1 )].

2


b

f (x)dx

a

integralni taqribiy hisoblash uchun quyidagi

b b an1

formulaga kelamiz.

f (x)dx

a

f (x 1 )

n k 1 k 2

(1)


  1. formula to`g`ri to`rtburchaklar formulasi deyiladi. Endi (1) taqribiy formulaning xatoligini aniqlaymiz.

(1) formulaning xatoligini

b b a n1

deylik.

Rn f (x)dx

a

f (x 1 )

n k 0 k 2

(2)


Aytaylik, bo`lsin.

f (x)

funksiya

[a, b]

segmentda uzluksiz

f (x)

hosilaga ega

Avvalo Rn

ni quyidagicha yozib olamiz:




n1 xk 1

b a n1

n1 xk 1

Rn

f (x)dx

n

f (x

1 ) f (x)dx


k
k 0 xk

n1 xk 1

n1

k 0

k 2 k 0 x


k
f (x

1 )dx [ f (x)

f (x

1 )]dx.

k 0

x k 2

k 0 k 2

Teylor formulasidan foydalanib topamiz:

1 2

f (x)

f (x

k

1 )

2

f (x



k

1 ) (x x

k

2

1 )

2

2

f (k



) (x x 1 )

k

2


(bunda k

son x va x 1

k

2

sonlar orasida). Natijada




n1

xk 1


1
2

Rn

k 0 xk

( f (x




)

1
x

1 ) (x x

k

2

1 )



k 2

2

x



f (k ) (x x 1 )

k

2

)dx



n1


k
( f (x

k 1

1 ) (x x

)dx 1

1 2



k 1


k
f (k ) (x x

2 )dx

bo`ladi.

k 0

k 2 x k 2

x k 2

xk 1

 


Ravshanki,

x xk 1 dx 0.

Demak,

xk

2



1 n1 xk 1


2
Rn

k 0 xk





f k x x





k 1 dx.

2


O`rta qiymat haqidagi teoremaga binoan

xk 1


k
xk 1

f (k

) (x x



k 1

)2 dx

f (* )

(x x

)2 dx

1


x
k

xk 2 k 2

2 3

(xk 1 xk )

f (* ) (b a)

f (* )

(* [x , x ])

bo`ladi.

Shunday qilib,

12 k

Rn uchun ushbu

12n3

k k k

k 1

1 n1 (b a)3

Rn 3

f (k

) (b a)


3
2

1 n1


f (* )
k

ifodaga kelamiz.

Ravshanki,

2 k 0

n1

12n

24n

* *


n k 0

*



k
1 f (* ) 

f (0 ) (1 ) ...

f (n1 )

miqdor


k
(* [a,b],

n k 0

k 0,1,2,..., n 1)

f (x)

n

ning

[a, b]

oraliqdagi eng kichik


m

hamda eng katta M 

qiymatlar orasida,


mf (* ) M
1 n1

k

bo`ladi.

Shartga ko`ra

f (x)

funksiya

n k 0

[a, b]

da uzluksiz. Uzluksiz funksiyaning




xossasiga muvofiq

(a, b) da shunday nuqta topiladiki,


f () f (* )
1 n1

k

bo`ladi.

Natijada Rn

uchun quyidagi

n k 0

tenglikka kelamiz.

Demak,



b

R (b a)


3
n 24n2

n1

f ()

3


bo`ladi.

f (x)dx b a

a n



k 0



f (x 1

k

2

) (b a)



24n2

f ()


Shunday qilib, [a, b]

f (x) funksiyaning

oraliqda ikkinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega bo`lgan

b

f (x)dx

a

integralini (1) tug`ri to`rtburchaklar formulasi yordamida taqribiy hisoblansa, bu taqribiy hisoblash xatoligi quyidagi

formula bilan ifodalanadi.

R (b a)


3
n 24n2

f ()

((a, b))

20. Trapetsiyalar formulasi.

f (x) funksiyaning

b

f (x)dx

a

integralini taqribiy hisoblash uchun, avvalo [a,b] segmentni

a x0 , x1 , x2 ,..., xn1 , xn b

nuqtalar yordamida n ta teng bo`lakka bo`linadi. So`ng har bir

[xk , xk 1 ]

(k 0,1,2,..., n 1)



bo`yicha integralni quyidagicha


xk 1

Download 297.38 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3   4




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling