Aniq integralning tadbiqlari

Toshkent Axborot Texnologiyalari Universiteti

312-20 guruh talabasi Nutfulloyev Sohibning
Calculus fanidan
“Aniq integralning tadbiqlari”
mavzusida yozgan mustaqil ishi

Reja:

1. 
   Yassi figuralarning yuzini hisoblash.
   
2. 
   Yoy uzunligini hisoblash.
   
3. 
   Aylanish jismini hajmi
   

1. 
   Yassi figuralarning yuzini hisoblash
   

Yassi figuraning yuzini hisoblashda aniq integralni qo`llashning bir necha hollari mavjud. Bunda chegara funksiyalarniung joylashuv vaziyati muhim ahamiyatga ega. Ba’zi hollarni ko`rib chiqamiz.
1) Agar y=f(x) funksiya OX o`qining yuqori (musbat) qismida joylashgan hamda uzluksiz bo`lib, x=a va x=b to`g`ri chiziq kesmalari bilan chegaralangan bo`lsa, hosil bo`lgan egri chiziqli trapetsiya yuzi

Formula yordamida topiladi

y₁=f₁(x) va y₂=f₂(x) egri chiziqlar hamda x=a va x=b to`g`ri chiziqlar bilan chegaralangan figuraning figuraning yuzini hisoblash kerak bo`lsin.
U holda f<sub>1</sub>(x)> f<sub>2</sub>(x) shart bajarilgan figuraning yuzi quyidagiga teng bo`ladi:

1-misol:
y=x²+1
y=0
x=-1 x=2
chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzini hisoblang .
Yechish:

Demak, berilgan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi 6 ga teng ekan.
2. Egri chiziq yoyining uzunligini hisoblash.
y=f(x) egri chiziqning AB yoyining uzunligi l bo`lsin. Bu yoy uzunligining dl differensiali quyidagi zormula bilan ifodalanadi:

Demak, AB yoyning uzunligi quyidagi formula bilan ifodalanadi:

Bunda a va b erkli o`zgaruvchilar.
Agar egri chiziq x=f(y) tenglama bilan berilgan bo`lsa u holda yoy uzunligi

Formula bilan ifodalanadi.
2-misol:
x²+y²=r² aylananing uzunligini hisoblang.
Yechish:
Aylananing tenglamasini differensiallab, quyidagilarni topamiz:


Integrallash chegaralarini 0 dan r gacha olib, aylana yoyining choragi uzunligini hisoblaymiz:

3. Aylanish jismi hajmi:
Y=f(x) formula bilan berilgan AB egri chiziqning [a, b] kesmada OX o`qi atrofida aylanishidan hosil bo`lgan jismning hajmini topish talab qilinsin.

Aylanish jismini OX ga perpendikular tekisliklar bilan n ta bo`lakka ajratamiz. Perpendikular tekisliklarning biri 0 nuqtadan a masofada, ikkinchisi x mafosada, keyingisi esa x+h masofada bo`lsin, Bunda, h-orttirma bo`lib, h=dx dir. U holda, jismning birinchi ikki tekislik bilan kesilgan qismining hajmi v(x) , undan keyingi qismining hajmi esa v(x)+v(x) dan iborat bo`ladi.
Birinchi silindrsimon jismning balandligi h=dx , asos radiusi y+y, U holda, birinchi jism hajmi y²dx, ikkinchisining hajmi esa (y+y)²dx bo`ladi. Ikki silindr orasidagi v orttirma hajm 2hyy dan iborat bo`ladi. Ammo v hajm y0 va h0 da cheksiz miqdor bo`lib, 0 ga intiladi. Shuning uchun hajmning differensiali kichik silindrsimon jismning hajmi y<sup>2</sup>dx bo`ladi. Buni integrallaymiz:

Bu tenglik aylanish jismining hajmini topish formulasidan iborat.
3-misol:
y=x² parabola, OX o`q va x=1 to`g`ri chiziq bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning OX o`qi atrofida aylanishidan hosil bo`lgan jismning hajmini toping.
Yechish:
Yuqoridagi formuladan foydalanamiz. Bunda, f(x)=x<sup>2</sup>, a=0, b=1 larni formulaga qo`yib, integrallarni hisoblaymiz.

Demak, jismning hajmi /5 dan iborat ekan.
Foydalanilgan adabiyotlar:

1. 
   Abdalimov V., Solixov Sh. Oliy matematika qisqa kursi. –Toshkent: O`qituvchi 1981.
   
2. 
   Kachenovskiy M.I. Algebra va analiz asoslari. 2-qism–Toshkent: O`qituvchi 1982.
   

Internet saytlari:

https://arxiv.uz/
http://library.ziyonet.uz/
http://ziyonet.uz/
https://math.semestr.ru/