Балкаларнинг деформацияларини дифференциал тенгламани интеграллаш усули билан аниқлаш

Балкаларнинг деформацияларини
дифференциал тенгламани интеграллаш усули билан аниқлаш
Машина ва иншоот қисмлари учун ишлатиладиган балкаларни ҳисоблашда лойиҳачиларни унга қўйилган кучлар таъсиридан ҳосил бўладиган кучланишлардан ташқари деформациялар, яъни турли кўндаланг кесимларнинг салқилиги ва айланиш бурчаклари ҳам қизиқтиради.
Балка бош инерция текисликларидан бирида ётган ташқи кучлар таъсирида тўғри эгилади ва унинг ўқи ҳам шу текисликда эгилади. Балканинг деформацияланган ўқига эластик чизиқ дейилади.
Балканинг деформацияси: салқилик ва айланиш бурчаги билан характерланади.
Балка кўндаланг кесими оғирлик марказининг балка ўқига тик равишда кўчиши шу кесимнинг салқилиги дейилади ва z ҳарфи билан белгиланади.
Балка ҳар бир кесимининг аввалги вазиятига нисбаттан бурилиш бурчаги шу кесимнинг айланиш бурчаги дейилади ва билан белгиланади.
Балканинг салқилиги абсцисса ўқи орасидаги муносабатни ифодаловчи тенгламага эластик чизиқ тенгламаси дейилади.
Математикадан маълумки, эгри чизиққа ўтказилган уринманинг абсциссалар ўқи билан ҳосил қилган бурчаги
(7.1)
бўлади .
Амалда бу бурчак дан кичик бўлганлиги учун деб олиб, (7.1) ни қуйидагича ёзамиз:
. (7.2)
Тўғри эгилишда эластик чизиқнинг эгрилиги, эгувчи момент ва балка бикрлиги орасида қуйидаги муносабат мавжуддир:
(7.3)
бунда: - координата бошидан масофада турган кесимдаги эгувчи момент;
- балка эластик чизиғининг шу кесимдаги эгрилик радиуси;
- балка кўндаланг кесимининг бикрлиги.

(7.3) муносабатдан фойдаланиб балка эластик чизиғининг тақрибий дифференциал тенгламасини қуйидаги кўринишда ёзамиз:

(7.4)

Агар ўқининг йўналиши юқорига қараса (7.1-шакл), (7.4) тенгламанинг иккала томонининг ишоралари бир хил бўлади. (7.4)

тенгламани бир марта интеграллаб кесимнинг айланиш бурчагининг, яна бир марта интеграллаб кесим салқилигини топиш учун қуйидаги ифодаларни ҳосил қиламиз:

(7.5)
(7.6)

Бу тенгламалардаги С ва D ихтиёрий ўзгармас сонларнинг қийматларини балканинг тиралиш шартларидан фойдаланиб топамиз:

бўлганда (7.7)
бўлганда
бўлганда (7.8)
бўлганда (7.9)