Bir jinslimas parobolik tenglamalarni yechish algoritmi

Bir jinslimas parobolik tenglamalarni yechish algoritmi.
+f(x,t), 00 (1) tenglamani va
U(x,0)=0, 0
U(0,t)=0, U(l,t)=0, t > 0 (3)
Shartlarni qanoatlantiruvchi nuqtaga xos bir jinsli tenglama yechimi topilsin (aynan nolmas).
Bu masala yechimini U(x,t)=T(t)X(x) (4) ko‘rinishida axtaramiz.
(4) ni (1) ga qo‘yamiz:
T’(t)X(x)= T(t)X’’(x); (5)
(5) ifodani (4) ga bo‘lamiz.
(6)
(6) ning chap va o‘ng tomonini alohida o‘zgaruvchilardan iborat bo‘lgani uchun (6) tenglik
=-λ yoki T’(t)+ λT(t)=0, (7) hamda
λ yoki X’’(x)+ λX(x)=0 (8) larga ega bo‘lamiz.
Bu tengliklar λ >0 uchun o‘rinli. [1]-Tихнов, Самарски “Уровнение математической физике”. Shuning uchun ning o‘rniga yozamiz.
Bu tenglamalarni (2)-(3)-shartlarda qarasak, oddiy differensial tenglama uchun quyidagi Shturm-Luivill masalasini hosil qilamiz:
(I)
(II)
Navbatda (I) va (II) Shturm-Luivill masalalarini yechamiz. Dastlab (II) ni yechamiz. (II) ning yechimi X(x)= , (9) bo‘lsin. Bu yerda k hozircha noma’lum son-parametr. (9) ni (II) ning 1-tenglamasiga qo‘yamiz.
=0 => => => k= +
Eyler formulasiga ko‘ra ( :
= cos + sin
= cos + sin
Yuqoridagilardan X(x)= cos + sin (10)
kelib chiqadi. X(0)=0 chegaraviy shartni (1) tenglamaga qo‘ysak, X(0)= cos + sin va sin hamda cos ekanligidan A=0 kelib chiqadi. Bundan ko‘rinadiki
X(x)=Bsin (11).
X(l)=0 chegaraviy shartni (11) tenglamaga qo‘yib, X(l)=Bsin =0 tenglikni hosil qilamiz. B 0 ekanligidan sin =0 hosil bo‘ladi. Bundan ni topsak:
.
Hosil bo‘lgan ning qiymatini (11) tenglamaga qo‘yib,
X(x)=sin (12) ifodani hosil qilamiz.
Huddi shunday T(t)= almashtirish olib, T(t) funksiyani topamiz. bo‘lgani uchun T(t) funksiya sonli qator ko‘rinishida hosil bo‘ladi. X(x) va T(t) funksiyalarni (1) tenglamaga olib borib qo‘ysak,
U(x,t)= (13)
va f(x,t) uchun f(x,t)= (14)
Furye qatorlarini hosil qilamiz. (14) tenglikdan Furye koeffitsientini topamiz:
(15)
Bu qiymatlar ((13), (14)) ni (1) ga qo‘ysak,
(16)
tenglik hosil bo‘ladi. ekanligidan,
=0 (17)
tenglama kelib chiqadi. (17) tenglamaning yechimi oddiy differensial tenglamalar kursidan bizga ma’lum.

Belgilashlar kiritib, (17) tenglamani ishlaymiz.
U’+AU-f=0 (18)
U(t)=g(t) v(t) (19) desak, U’(t)=g’(t) v(t)+v’(t) g(t) (20) bo‘ladi. (19) va (20) ni (18) tenglamaga olib borib qo‘yib, g va v ni topamiz.
g’v+v’g+Agv-f=0
g’v+(v’+Av)g-f=0
v’+Av=0
=-Av => =-A => ln(v)=-A(t+ ) => v=
g’v-f=0
= => dg=f dt => g= d
v va g funksiyalarni (19) tenglamaga qo‘ysak,
d (21)
(21) ni (13) ga qo‘yib, yechimni
U(x,t)= d
ko‘rinishda yozish mumkin.
Bunda G(x, , t)= belgilash kiritsak, (o‘rta qiymat haqidagi teoremaga ko‘ra) [ ]
va ning qiymatini U(x,t) ga qo‘ysak,
U(x,t)= d .